巧作垂线 妙用垂直

齐永利

摘   要：解题无定法，贵在得法。中考数学题的解法往往不止一种，但如果选取不当，就会使解题过程复杂化，甚至会误入歧途导致错误。若能正确使用辅助线则可开启解题的思维闸门，起到四两拨千斤的效果，既可使问题化难为易，又可化繁为简。

关键词：中学数学;垂直关系;辅助线

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2020）11-0027-03

垂线垂直是初中数学的核心内容之一，几乎和整个初中几何各个部分知识都有直接联系，也就是贯穿整个初中三年的几何内容。而辅助线作为解题的切入点，常常给解题起到“催化剂”和“点睛之笔”的作用。一条（多条）辅助线，常常给予师生更好的思路和更好的方法。因此，正确地使用辅助线，做到“召之即来，挥之即去”，对学生解题非常有帮助，这便是辅助线的精髓所在。笔者翻阅近年中考试题，总结常见有以下几种类型。

类型一：见角平分线，向角两边作垂线

例1.（2019·陕西）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为（ ）

【分析】过点D作DF⊥AC于F如图所示，根据角平分线的性质得到DE=DF=1，解直角三角形即可得到结论.

【解答】过点D作DF⊥AC于F如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=，∴BC=BD+CD=2+，故选：A.

【评注】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键。

类型二：见等腰三角形，作底边上的高

例2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E在AC上，且AD=AE，求证：DE⊥BC.

【分析】过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D，则∠BAM=∠D，根据平行线的判定得出DE∥AM，进而得到DE⊥BC.

【证明】如图，过A作AM⊥BC于M，

∵AB=AC，∴∠BAC=2∠BAM，

∵AD=AE，∴∠D=∠AED，

∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，

∴∠BAC=2∠BAM=2∠D，∴∠BAM=∠D，

∴DE∥AM，∵AM⊥BC，∴DE⊥BC.

【评注】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性質，平行线的判定等知识，难度适中。准确作出辅助线是解题的关键。

类型三：见锐角（三角函数），构造直角三角形

例3.（2019·葫芦岛）如图，河的两岸a、b互相平行，点A、B、C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB=30°，在B处测得∠PBC=75°，若AB=80米，则河两岸之间的距离约为 米.（≈1.73，结果精确到0.1米）

【分析】过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，然后锐角三角函数的定义分别求出AD、PD后即可求出两岸之间的距离。

【解答】过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，∵∠PBC=75°，∠PAB=30°

∴∠DPB=45°，∵AB=80，∴BD=40，AD=40，∴PD=DB=40，∴AP=AD+PD=40+40，∵a∥b，∴∠EPA=∠PAB=30°，∴AE=AP=20+20≈54.6，故答案为：54.6

【评注】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30°角的直角三角形性质以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型.

类型四：与圆有关的垂线段

（一）有切点，连半径，得垂直

例4.（2019·阜新）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A=25°，则∠C的度数是（ ）

A.25° B.30° C.35° D.40°

【分析】连接OB，CB与⊙O相切于点B，得到∠OBC=90°，根据条件得到∠COB的度数，然后用三角形内角和求出∠C的度数即可.

【解答】如图：连接OB，∵OB=OA，∴∠A=∠OBA，∵∠A=25°，∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBC=90°，∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°.故选：D.

【评注】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB的度数，然后在三角形中求出∠C的度数.正确作出辅助线是解题的关键.

（二）无切点，作垂直，证半径

例5.（2019·辽阳）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE、AD、DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC=∠EDA.

求证：AC是⊙O的切线.

【分析】（1）连接OA，过O作OF⊥AE于F，得到∠EAO+∠AOF=90°，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠EDA=∠AOF，推出OA⊥AC，得到AC是⊙O的切线;

【证明】（1）连接OA，过O作OF⊥AE于F，

∴∠AFO=90°，∴∠EAO+∠AOF=90°，

∵OA=OE，∴∠EOF=∠AOF=∠AOE，

∵∠EDA=∠AOE，∴∠EDA=∠AOF，

∵∠EAC=∠EDA，∴∠EAC=∠AOF，

∴∠EAO+∠EAC=90°，

∵∠EAC+∠EAO=∠CAO，∴∠CAO=90°，

∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线;

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。圆的切线垂直于经过切点的半径。判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”。也考查了扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键。

类型五：作垂直，构相似

例6.如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，AB=5.点D在反比例函数y=■（k>0）的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP=7.

（1）求点B的坐标和线段PB的长;

（2）当∠PDB=90°时，求反比例函数的解析式.

【分析】（1）根据勾股定理求出OB，即可得出答案;（2）设D的坐标是（4，y），证△BDM∽△DPM，得出比例式，代入即可求出y，把D的坐标代入求出即可.

【解答】（1）∵AB=5，OA=4，∠AOB=90°，∴由勾股定理得：OB=3，即点B的坐标是（0，3），∵OP=7，∴线段PB的长是7+3=10;

（2）过D作DM⊥y轴于M，∵PD⊥BD，

∴∠BDP=∠DMB=∠DMP=90°，

∴∠DBM+∠BDM=90°，

∠BDM+∠MDP=90°，

∴∠DBM=∠PDM，∴△DBM∽△PDM，

∵OA=4，AD⊥x軸，∴设D的坐标是（4，y）（y>0），

解得：y=1，（y=-5舍去），

即D点的坐标是（4，1），

把D的坐标代入y=得：k=4，

即反比例函数的解析式是y=.

【评注】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大.

类型六：作垂直，用勾股

例7.（2019·天门改编）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）.动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动;动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒，PQ2=y.写出y关于t的函数解析式及t的取值范围。

【分析】过点P作PE⊥BC于点E，由点P，Q的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t秒时点P、Q的坐标，进而可得出PE、EQ的长，再利用勾股定理即可求出y关于t的函数解析式（由时间=路程÷速度可得出t的取值范围）;

【解答】过点P作PE⊥BC于点E，如图所示.

当运动时间为t秒时（0≤t≤4），

点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8-2t，6），

∴PE=6，EQ=|8-2t-3t|=|8-5t|，

∴PQ2=PE2+EQ2=36+|8-5t|2=25t2-80t+100，

∴y=25t2-80t+100（0≤t≤4）.

【点评】通过做垂线得到直角三角形利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式是解决本题的关键。