随机泛函偏微分方程解的存在唯一性

余国胜

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

0 引言

长期以来，众多学者研究了随机微分方程解的稳定性。文献［1-5］得到了相关随机偏微分方程解的稳定性，但是没有讨论解的存在唯一性。文献［6］主要研究了中立型随机泛函偏微分方程解的指数稳定性，同时也证明了解的存在唯一性。文献［7］讨论了Hilbert空间上一类随机泛函偏微分方程强解的存在唯一性。文献［8］采用变分法得到了延迟随机发展方程解的存在唯一性。文献［9］研究了无穷时滞随机泛函微分方程解的存在唯一性。文献［10］考虑了无穷维空间上随机泛函微分方程解的存在唯一性。本文在文献［6-10］的研究基础上，拟讨论更一般的可分的Hilbert空间上随机泛函偏微分方程解的存在唯一性。

1 预备知识

下面给出分析的框架。V和H是实的、可分的Hilbert空间，其范数分别为||·||和|·|，相应地V⊂H≡H*⊂V*，V*是V的对偶。映射是连续稠密的，且

令 ||·||，|·|和 ||·||*分别表示V,H和V*中的范数，< ·，·＞ 表示V*和V之间的对偶乘积，(·，·)表示H中的内积。W(t)是定义在完备概率空间(Ω,ℑ,P)上取值于可分Hilbert空间K的Wiener过程，其增量协方算子为Q。{ℑt}t≥0是由{W(s),0≤s≤t}生成的σ代数，于是W(t)是关于{ℑt}t≥0的一个鞅。本文拟讨论下列随机泛函偏微分方程：

其中假设ψ是ℑ0-可测的。

A:[0,∞)× V→V*,F1:[0,∞)×C→V*和G1:[0,∞)×C→L(K,H),C=C([-r,0],H)表示从[-r,0]到H的所有连续函数全体，其中

定义1如果下列条件满足：

①x(t)∈M2(-r,T;V)⋂L2(Ω,C([-r,T],H)),T＞ 0，其中M2(-r,T;V)表示定义在[-r,T]× Ω上的V-值可测函数空间，且满足

∫T E-r||x(t)||2dt<∞。

②对t∈[0,T],几乎必然在V*中有下列方程成立：

③下面的随机能量等式成立：

则定义在(Ω,ℑ,P)上的一个ℑt-适应随机过程x(t)为方程（1）的能量解。

2 相关引理

为得到（1）式的能量解x(t)存在且唯一，假设满足以下条件：

a1.单调、压缩条件：存在αθ＞ 0,λθ∈ R满足

a2.可测性：对v∈V,映射t∈(0,T)→A(t,v)∈V*是Lebesgue可测的。

a3.半连续性：对u,v,w∈V,a.e.t∈ (0,T)，有

a4.有界性：对v∈V,a.e.t∈(0,T),存在c＞ 0使得

b1.Lipschitz条件：存在一个常数c1＞ 0,满足对于ξ,η∈C,则有

证明由Burkholder-Davis-Gundy不等式有

则引理1可证。

引理2令u0≡ 0,递归地定义一个过程序列{un}n≥1为

则{un(t)}n≥1是一个Cauchy序列。

证明注意到u0≡ 0∈M2(-r,T;V)⋂L2(Ω;C(-r,T;H)),由文献［11］的结果，存在唯一的un∈M2(-r,T;V)⋂L2(Ω ;C(-r,T;H))是式（3）的解。下面证明 {un}n≥1在M2(-r,T;V)⋂L2(Ω;C(-r,T;H))是一个Cauchy序列。对过程un+1(t)-un(t)运用Itô公式，且由条件a1可得

由（4）式可以得到

注意到

由引理1有

由（5）～（8）式以及条件b1，则存在一个正常数k,对n≥ 1,t∈[0,T]有

由此可以定义

则有

递推上面的不等式，可以得到

由于un+1(t)=un(t),∀t∈ [-r,0],（9）式意味着在M2(-r,T;V)⋂L2(Ω;C(-r,T;H))中{un(t)}n≥1为一Cauchy序列。

3 主要结果

定理1若假设条件a1～a4和b1均满足，则方程（1）存在唯一能量解，而且

证明第一步：证解的唯一性。假设u,v∈M2(-r,T;V)⋂L2(Ω,C(-r,T;H))是方程（1）的两个解。由Itô公式和条件a1，对于∀t∈ [0,T]有

因而对于∀t∈[0,T],有

对（10）式右边估计，由条件b1，一方面

由引理1有

由（10）～（12）式，对于所有的t∈ [0,T],有

由Gronwall引理，唯一性得证。

第二步：证解的存在性。由引理2，{un(t)}n≥1为一个Cauchy序列。

方程因而存在u∈M2(-r,T;V)⋂L2(Ω;C(-r,T;H))有un(t)→u(t)。往证过程u(t)恰好是方程（1）的解。由条件b1有

由条件a4序列{A(t,un(t))}n≥1在M2(0,T;V*)中是有界的。因而存在子序列

以及ξ∈M2(0,T;V*),使得A(t,unk(t))弱收敛于ξ，（3）式关于nk取极限，则u是下列方程的一个解。

其中，ξ(t)由u(t)唯一确定，因而不妨假设在M2(0,T;V*)中整个序列{A(t,un(t))}弱收敛于ξ。为了证明u是方程（1）的解，往证ξ(t)=A(t,u(t)),t∈(0,T)。在区间[0,T]上分别对|un(t)|2和|u(t)|2运用Itô公式可以得到

和

将（14）式两边取极限，并与（15）式比较有

对∀x∈M2(0,T;V)和所有n≥ 1，由条件a1有

对（17）式两边取极限，∀x∈M2(0,T;V)有

令x(s)=u(s)-δ z(s)，其中z∈M2(0,T;V),δ＞ 0，于是

将（18）式两边同时除以δ，并令δ→ 0，由条件a3有

因而A(s,u(s))=ξ(s), ∀s∈ (0,T)。