一类与定积分有关的数列极限问题

杨学凤 邓秋芳 徐惇儒 李盈盈 赵艳辉

【摘要】本文结合定积分的性质、函数的连续性和可导性从两个不同的方面对一类与定积分有关的数列极限问题进行了探讨。通过对具体实例的分析研究得到了解决这类问题的一般方法，为此类极限的计算提供了理论依据。

【关键词】数列极限  定积分  连续性  可导性

【基金项目】湖南科技学院2018年校级大学生研究性学习和创新性实验计划项目资助（序号56）;湖南科技学院应用特色学科建设项目资助。

【中图分类号】O172.2     【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）08-0227-01

本文将结合定积分的性质、函数的连续性和可导性从两个不同的方面将此类定积分化为某些数列，再利用数列极限的性质求出该数列极限。并通过具体实例分析研究出对于满足不同条件的被积函数所采取的方式方法，为此类极限的计算提供理论依据。

1.已知函数f（x）在闭区间端点连续或在闭区间连续求极限

如果已知函数在一点x0连续，先寫出函数在一点x0连续的？着-？啄定义，[a，b]再将区间分成两个不同的小区间进行讨论。对于区间[a，b]上的连续函数，除了可利用一点连续的？着-？啄定义外，还可以利用一致连续的性质，再将区间[a，b]分成两个不同的小区间进行讨论。在不同的小区间上|f（x）-f（b）|的处理方式不同。请看下例。

例1 设f（x）是在[a，b]可积且在x=b连续的函数，求证：

小结  利用积分区间的可加性将积分区间分成[a，b]=[a，b-？啄]∪[b-？啄，b]上两个小区间上的积分之和，注意在两个小区间上对f（x）-f（b）处理方式的不同。将f（b）写成定积分形式，这也是定积分中处理积分极限、证明积分等式或不等式常用的方法。

2.已知函数在闭区间可导或在其内某点可导求极限

如果已知函数在一点可导，可以利用函数在一点可导的定义及极限的性质来解决问题。而如果已知函数在一个区间内有二阶或二阶以上的导数，则可用Taylor公式将函数在某点展开，求得函数表达式，再代入积分表达式即可。

例2  设f（x）为区间[0，1]上的二阶连续可导函数，求证：

如果函数在一点可导，则由可导的定义和极限的性质将函数表示出来。

小结 由例2可知，由可导性来处理此类问题时，如果已知函数只有一阶可导，则利用导数的定义将函数表示出来，注意讨论积分时区间的分割法，以及在不同的区间内积分的不同处理方式，最后求出相应的数列极限即可;当已知函数二阶可导，可利用函数的带Lagrange余项的Taylor展开式表示函数，由于导函数的介值性，所以也不需要函数有连续的导数，利用介值性处理中值点的导函数值，从而使得定积分能顺利计算出来。

参考文献：

[1]李金媛.求数列极限的几种常用方法[J].数学学习与研究，2018（18）：6.