具有开点拓扑的函数空间上的基数函数

陈结文，张 静

（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）

对于完全正则空间X 和实空间ℝ,记C(X)是从X 到ℝ 的全体实值连续函数的集合.在C(X)上赋予两种集开拓扑是点开拓扑p 和紧开拓扑k 分别记为Cp(X)[1]和Ck(X)[2].点开拓扑是熟知的点态收敛拓扑,关于空间Cp(X)的拓扑性质可参考文献[1].1945年,Fox在文献[2]中引入紧开拓扑,之后不久由Arens[3]与Arens等[4]深入研究.拓扑化C(X)的思想来源于函数序列的收敛性.在定义C(X)上的集开拓扑时,只考虑了X 的某一子集族和ℝ 的开子集.2015 年,Jinal等[5]采用了一种完全不同的方法定义C(X)上的集开拓扑,他们又从X 和ℝ 在构建C(X)上拓扑时发挥同等重要的作用出发,建立了C(X)上的开集拓扑以及C(X)上集开拓扑和开集拓扑的组合.

众所周知,在C(X)上赋予点开拓扑Cp(X),它的子基元形如

其中x ∈X,V 是ℝ 的开集.文献[5]主要介绍在C(X)上定义两种不同于点开拓扑Cp(X)的拓扑分别是开点拓扑和双点开拓扑.Ch(X)上开点拓扑的子基元形如

其中U 是X的开集,r ∈ℝ.记h是C(X)上开点拓扑且记Ch(X)是集合C(X)上赋予开点拓扑的拓扑空间.C(X)上双点开拓扑是点开拓扑p 和开点拓扑h 的组合,也就是,它的拓扑子基元形如[x,V ]+或[U,r]-，其中x ∈X,V 是ℝ 的开集,U 是X 的开集,r ∈ℝ.记Cph(X)是空间C(X)赋予双点开拓扑ph,而Cph(X)是由恒等映射id1:C(X)→CP(X)和id2:C(X)→Ch(X)诱导的作为C(X)上更细的拓扑.

Jinal 等[5]首先刻画了两种新的拓扑空间需要的基本性质，研究了Ch(X)和Cph(X)的分离性、可度量性、第一可数性与可分性.Jinal等[6]考虑了两种拓扑的次可度量化性质和基数函数,如extent,胞腔度,权重,π权,伪特征,特征和tightness等.

文献[5]证明了Ch(X)在常值零函数处有可数伪特征,则X具有可数π基.笔者推广了这个结果，证明了Ch(X)在常值零函数处有无限基数κ的伪特征,则X具有无限基数κ的π基.此外，从基数不变量的角度出发,把文献[5]中有关基数的部分结果推广到相应的基数函数形式.

1 预备知识

假定所有空间都是Hausdorff完全正则的,也就是Tychonoff.ℕ 表示正整数集,ℝ 表示实空间,ℚ 表示有理数集,κ为无限基数.0X是C(X)的常值为零的函数,Aˉ表示X的子集A的闭包.则

空间X在x的特征[6]χ(X,x)= min{|ξx|:ξx是x的基}+ ℵ0；

空间X的特征[6]χ(X)= sup{χ(X,x):x ∈X}；

空间X在x的伪特征[6]ψ(X,x)= min{|:是X中的开集族且⋂={x}}+ ℵ0；

空间X伪特征[6]ψ(X)= sup{ψ(X,x):x ∈X}；

空间X的权重[6]ω(X)= min{|ξ|:ξ是X的基}+ ℵ0；

空间X的π权重[6]πω(X)= min{|ξ|:ξ是X的π基}+ ℵ0；

空间X的稠密度[6]d(X)= min{|D|:D是X的稠密子集}+ ℵ0.

如果X具有由开闭集组成的基，则称X是零维空间[7].

空间X 的非空开集族ξ 称作X 的π 基[7],如果X 的每一非空开集含有ξ 中的某元.其它术语和记号可查阅文献[8].

以上是一些基数函数及相关定义，下面介绍关于Ch(X)与Cph(X)相关的基数函数结果以及给出证明过程中需要用到的两个已知结论：

1)e(Cph(X))≥e(Ch(X))≥2ℵ0;

2)若X0≠∅,则c(Cph(X))≥c(Ch(X))≥2ℵ0;

3)若X是局部连通空间，则χ(Ch(X))≤ω(X);

4)2ℵ0≤ω(Ch(X))≤2ℵ0·ω(X)；

5)2ℵ0≤ω(Cph(X))≤2ℵ0·ω(X)；

6)ψ(Ch(X))= πω(X)；

7)ψ(Cph(X))= d(X).

命题2[5]如果X是一个没有孤立点的空间, 则Cph(X)有一个π基由形如

2 主要结果

通过对文献[5]中定理4.3证明方法进行提炼，容易证明以下结论.

定理1 假设X是零维的,如果对f ∈C(X),|f(X)| = κ+,则χ(Ch(X))＞κ.

运用定理1,易得推论1.

推论1[5]假设X是零维的, 如果对f ∈C(X),f(X)是不可数的,则Ch(X)不是第一可数的.

鉴于0X的特殊性，定理2揭示了0X在Ch(X)中的伪特征与空间X的π权重的关系.

定理2 πω(X)≤ψ(Ch(X),0X).

推论2是定理2的特殊形式.

推论2[5]如果0X∈C(X)在Ch(X)中具有可数伪特征，则X具有可数π基.

定理3 如果X有由非平凡连通集构成的π基ξ且|ξ|≤κ，则d(Ch(X))≤κ.

通过定理3,可得到以下Ch(X)可分的两个充分条件.

推论3[5]如果X有非平凡连通集构成的可数π基,则Ch(X)是可分的.

推论4[5]如果X是局部连通的没有孤立点的可分度量空间，则Ch(X)是可分的.

类比Ch(X)可分的研究方法，考虑Cph(X)的稠密度有如下结果.

定理4 如果X 有由非平凡连通集构成的π 基ξ 且|ξ|≤κ,并且有一个较粗的度量拓扑, 则

d(Cph(X))≤κ.

注意到Cp(X)是可分的当且仅当X有一个较粗的度量拓扑[4]且由推论3可得到Cph(X)可分的充分条件.

推论5[5]如果X有非平凡连通集构成的可数π基且有一个较粗的度量拓扑, 则Cph(X)是可分的.