矩阵方程AX=B的可双对称化解及其最佳逼近

李 媛,谢冬秀

(北京信息科技大学 理学院，北京 100192)

0 引言

一直以来，矩阵方程的求解问题在工程领域应用广泛。由于理论研究和实际应用的不同需求，对矩阵方程解的性质和结构有着许多不同的约束，由此产生出不同类型的约束矩阵方程问题。本文考虑可双对称化矩阵方程的反问题及其最佳逼近问题，这些问题尚未见诸文献。

下面给出可双对称化矩阵的定义:

定义1给定W∈Rn×n是非奇异矩阵,若A∈Rn×n满足WAW-1∈Jn×n,则称矩阵A为可双对称化的。

AX=B

(1)

当B=XΛ时,问题I转化为可双对称化矩阵的逆特征值问题。

(2)

式中S为满足式(1)的可双对称化矩阵的解集合。

目前,关于不同类型的矩阵方程问题已经有许多研究成果。对于矩阵方程AX=B而言,徐伟孺[1]给出了该方程有k对合对称子的解;胡锡炎等[2]给出了当B=XΛ时双对称矩阵的逆特征值问题;刘永逸等[3]给出了该矩阵方程有可反对称化解的充要条件;戴华[4]给出了该方程有对称正交反对称解的充要条件及解的表达式;谢冬秀等[5-6]分别给出该矩阵方程双反对称矩阵反问题及反对称次对称矩阵反问题的最小二乘解;周富照等[7]给出了该方程的对称正交对称解的一般表达式及其最佳逼近问题的解。本文将给出该矩阵方程有可双对称化解的充要条件及解的表达式,并讨论其最佳逼近问题的解,为工程方面的一些问题提供了解决方法。

1 问题Ⅰ解存在的条件

为了研究问题I有解的充分必要条件和解的表达式,先给出下述引理。

引理1[4]若X∈Rn×m,Y∈Rn×m,则存在H∈SRn×n使