非正规子群彼此同构的有限群

石化国 韩章家 张隆辉

(1.四川职业技术学院 教师教育系,遂宁,629000；2.成都信息工程大学 应用数学学院,成都,610225)

1 引言

本文所讨论的群均为有限群, 除非特别说明, 本文所使用的符号都是标准的(见[8]).

所有子群皆正规的群称为 Dedekind 群.Dedekind 群在讨论有限群的结构中扮演很重要的角色, 自 R.Dedekind, E.Wendt 和R.Bare给出Dedekind 群的结构后(见[5]), 许多群论工作者从不同的角度对 Dedekind 群进行了推广, 得到了大量的成果, 在此不一一赘述, 仅举几例来说明.比如, 石化国、韩章家和陈贵云教授[6]以及R.Brand[2]讨论了非正规子群彼此共轭的有限群的结构; 陈顺民和陈贵云教授[3-4]讨论了非正规子群共轭类数为2和3的有限群的性质和结构.

其实我们可以换个角度来看待以上这些研究.显然Dedekind群既可以看作是非正规子群个数为零的群，也可以看作是非正规子群共轭类个数为零的群, 所以以上提及的文献从非正规子群共轭类数这个角度对 Dedekind 群进行推广就比较自然了.

进一步地, 探讨具有特定群论性质的非正规子群对有限群结构的影响也是一件很有意思的工作, 例如 A.Fattahi在[1]中给出了非正规子群皆反正规(abnormal)的有限群的结构; 张勤海教授[9]给出了非正规子群皆自正规的有限群的结构; 石化国、韩章家、江磊[2]讨论了非正规子群均为素数阶的有限群的结构等.这些研究都是从非正规子群具有某一特性的角度对 Dedekind 群进行推广.本文将继续这一思路讨论非正规子群彼此同构的有限群, 并最终确定其结构.

我们的主要结……