中学数学解题教学的高观点透视*

广西师范大学数学与统计学院

1 引言

1.1 高观点的内涵

“高观点”是“高观点下的初等数学”的简称[1].19世纪末20世纪初,德国著名的数学家、教育学家菲利克斯·克莱因在其著作《高观点下的初等数学》中提出了“高观点”下的中学数学的思想.“高观点”是指运用高等数学(包括经典高等数学和现代数学)的知识、方法、思想等,去分析和解决初等数学问题[2].它包含三个方面的内容:在中学数学中渗透现代数学的思想和方法;高等数学对中学数学的具体指导;在高等数学的背景下分析中学数学某些难以处理的问题[3].

1.2 初等数学与高等数学的关系

高等数学和初等数学这两个领域联系紧密而且有交叉和融合,这就意味着用“高观点”的数学思想指导初等数学的教学具有可行性[4].初等数学与高等数学之间存在着紧密的联系,初等数学是高等数学的基础,高等数学是初等数学的延伸和发展[5].即高等数学建立在初等数学的基础上,高等数学的发展推动着初等数学的发展.用高观点的视角剖析初等数学问题,分析高等数学和初等数学之间的联系,可以进一步提高学生的数学核心素养.

2 “高观点”下的典型案例

高观点题是指与高等数学相联系的数学问题,这样的问题或以高等数学知识为背景,或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法[6].高观点题有利于区分考生能力,切实提升学生的数学能力.

2.1 用柯西不等式解决最值问题

柯西不等式是由伟大的数学家柯西发现的.其定义及表现形式如下:

二维形式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d为任意实数.而等号成立的条件:当且仅当ad=bc(即时.

案例探究1(2019年高考桂林市、贺州市、崇左市联合调研考试,理科数学,第23题):设函数

(1)若a=1,b=0,求f(x)≥2的解集;

(2)若f(x)的最小值为8,求a+2b的最大值.

解析:(1)因为a=1,b=0,所以当x＜0时,1-x-x≥2,解得当0≤x＜1时,1-x+x≥2,此时1≥2矛盾,即无解;当x≥1时,x-1+x≥2,解得

(2)因为

又根据柯西不等式知:

则

a+2b(当且仅当a=b时取等号),故a+2b的最大值为

案例探究2(2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷七,文科数学,第23题):已知a,b,c,d均为正实数,

(2)求a2+b2+c2+d2的最小值.

解析:(1)由基本不等式,可知:

当且仅当a2=4b2=9c2=16d2时取到等号.

即原命题成立.

(2)根据柯西不等式:

注:最值问题是中学数学中的常见问题,在近年的文科数学题和理科数学题中均有涉及.两个典型例题都运用了柯西不等式这种高等数学方法:例1 应用的是柯西不等式的二维形式,例2 应用的是柯西不等式的一般形式,它们都使得最值问题迎刃而解.

值得注意的是,我们在应用柯西不等式解答一些复杂的数学问题时,应仔细对照柯西不等式的标准形式、各个变量所对应的关系,以及等号成立所满足的条件[8].运用柯西不等式解题,使得解法更自然、简洁.

2.2 用洛必达法则解决含参问题

不定式极限是指两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限,以导数为工具研究型或型这种不定式极限的方法叫做洛必达(L’Hospital)法则[9].

案例探究3(2019届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷,理科数学,第21题):已知函数为实数.

(1)当a=2时,求f(x)的单调递增区间;

(2)如果对任意x≥0,f(x)≤x+1 恒成立,求a的取值范围.

解析:(1)当a=2时,f(x)=(x2+2x+1)e-x,则f′(x)=-(x+1)(x-1)e-x,要求出的单调递增区间,令f′(x)＞0,即f′(x)=-(x+1)(x-1)e-x＞0,则(x+1)(x-1)＜0,得-1＜x＜1,即f(x)的单调递增区间为(-1,1).

(2)由f(x)≤x+1,得:整理,得:

令

则

令

则

而

则h′(x)在(0,+∞)单调递增,所以h′(x)＞h′(0)=0,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)＞h(0)=0,则

则g(x)在(0,+∞)上单调递增,由洛必达法则,得

即当x →0+时,g(x)→2,又

故a≤2.

注:极限的计算方法有很多,应用洛必达法则求解不定式极限就是其中一种重要的方法[10].本例巧妙地运用了洛必达法则进行求解,首先要注意题中所给的比式极限是否为不定式极限,其次看它是否满足洛必达法则的其他条件.该题涉及的解题方法为《数学分析》中的“洛必达法则”,用高等数学的方法来解决中学数学问题,这是一种高观点.

3 启迪与思考

数学课堂教学离不开解题教学.在数学解题教学中,我们关注的是其中最基本的知识和方法,落脚点是学生的数学核心素养.基于“高观点”的教学有以下三点建议:

(1)教师要善于运用高观点的数学思想来指导中学数学的教学.数学思想是数学中处理问题的基本观点,高等数学中蕴含的数学思想,如极限思想、转化思想等,同时也隐藏于中学数学中,它们组成了指导中学数学教学的“高观点”.因此,教师在解题教学中要注重渗透高观点的数学思想.

(2)教师要站在更高的视角去剖析中学数学试题.近年来,很多地区的高考命题中都体现着高观点.因此,教师应努力寻找高等数学与初等数学的结合点,如搜集一些典型的“高观点”文献资料,自己开发练习题等[11],从更高的角度去分析相关的初等数学问题.

(3)教师要在高观点的新形势下夯实自身的专业知识.随着新课程改革的不断深入,高等数学的内容、思想、方法等在中学教材中均有体现.因此,中学数学教师要树立终身学习的观念,加强对高等数学知识的再学习,提高自身的专业素养.