微分方程与其伴随方程间结构关系探究

吴亚敏

(黄冈师范学院 数学与统计学院,湖北 黄冈 438000)

常系数非齐次线性微分方程的通解，等于对应的常系数齐次线性微分方程的通解，加上常系数非齐次线性微分方程的特解构成[1-2].已有很多专家学者进行研究分析[3-7]，本文作者前期对常系数非齐次线性微分方程的特解进行探究，根据右端函数f(x)的三种pm(x),eλxpm(x),eαx[pm1(x)cosβx+pm2(x)sinβx]不同的类型，给出其伴随方程概念，均统一到第一种pm(x)类型，通过对m+1元线性方程组的求解，得到了常系数非齐次线性微分方程的特解.本文将继续深入研究，探究微分方程与其伴随方程间的结构关系.

1 主要定理

1.1 二阶常系数线性微分方程

方程

y″+py′+qy=eλxpm(x)

(1)

的伴随方程为

Q″(x)+T′(λ)Q′(x)+T(λ)Q(x)=pm(x)

(2)

设

Z″(x)+T′(-λ)Z′(x)+T(-λ)Z(x)=eλxpm(x)

(3)

y″+py′+qy=pm(x)

(4)

在方程(1)中，令y=eλxQ(x)，求其各阶导数代入方程(1)，整理得到方程(2).

用eλx乘以方程(4)得eλx(y″+py′+qy)=eλxpm(x)，令Z(x)=eλxy，求其各阶导数，代入整理得到方程(3).

定义1若二阶常系数非齐次线性微分方程(2)是微分方程(1)的伴随方程，则称微分方程(1)是微分方程(2)的伴随前的微分方程.

显然，伴随前的方程(1)的自由项中含有eλx因子，其伴随方程(2)的自由项中不含eλx因子.当λ=0时，以上四个微分方程是同一个微分方程.

方程(1)、(2)、(3)、(4)对应的齐次微分方程的特征方程为

T(r)=r2+pr+q=0

(5)

T1(r)=r2+T′(λ)r+T(λ)=0

(6)

T2(r)=r2+T′(-λ)r+T(-λ)=0

(7)

T(r)=r2+pr+q=0

定理1特征多项式T(r),T1(r),T2(r)满足下列关系：

证明

T1(r-λ)=(r-λ)2+(2λ+p)(r-λ)+λ2+pλ+q=r2+pr+q=T(r),
T2(r+λ)=(r+λ)2+(-2λ+p)(r+λ)+λ2-pλ+q=r2+pr+q=T(r),

推论2若ri是特征方程(5)的特征根，则ri∓λ分别是特征方程(6)、(7)的特征根.

推论3若r1,r2是微分方程(1)或(4)的特征根，则T(r)=(r-r1)(r-r2),T1(r)=(r-r1+λ)(r-r2+λ),T2(r)=(r-r1-λ)(r-r2-λ)

推论4微分方程(1)、(3)分别是微分方程(2)、(4)的伴随前的方程.

推论5伴随前的方程(1)、(3)分别与其伴随方程(2)、(4)对于同一个λ是一一对应的.

定理2若r1,r2是特征方程(5)的特征根，则微分方程(1)、(2)、(3)、(4)对应的齐次微分方程的通解分别为

(1)当r1≠r2时，Y(x)=c1er1x+c2er2x,Q(x)=c1e(r1-λ)x+c2e(r2-λ)x=e-λxY(x),

Z(x)=c1e(r1+λ)x+c2e(r2+λ)x=eλxY(x),Y(x)=c1er1x+c2er2x

(2)当r1=r2=r时，Y(x)=(c1+c2x)erx,Q(x)=(c1+c2x)e(r-λ)x=e-λxY(x),

Z(x)=(c1+c2x)e(r+λ)x=eλxY(x),Y(x)=(c1+c2x)erx

(3)当r=α±βi时，Y(x)=eαx(c1cosβx+c2sinβx),Q(x)=e(α-λ)x(c1cosβx+c2sinβx)=e-λxY(x),

Z(x)=e(α+λ)x(c1cosβx+c2sinβx)=eλxY(x),Y(x)=eαx(c1cosβx+c2sinβx)

推论6Y(x)=eλxQ(x)或Q(x)=e-λxY(x);Z(x)=eλxY(x)或Y(x)=e-λxZ(x)

定理3若r1,r2是特征方程(5)的特征根，Q*(x),y*(x)分别是微分方程(2)、(4)的特解，则微分方程(1)、(2)、(3)、(4)的通解分别为

(1)当r1≠r2时，y=c1er1x+c2er2x+eλxQ*(x),Q=c1e(r1-λ)x+c2e(r2-λ)x+Q*(x),

Z=c1e(r1+λ)x+c2e(r2+λ)x+eλxy*(x),y=c1er1x+c2er2x+y*

(2)当r1=r2=r时，y=(c1+c2x)erx+eλxQ*(x),Q=(c1+c2x)e(r-λ)x+Q*(x),

Z=(c1+c2x)e(r+λ)x+eλxy*(x),y=(c1+c2x)erx+y*(x)

(3)当r=α±βi时，y=eαx(c1cosβx+c2sinβx)+eλxQ*(x),Q=e(α-λ)x(c1cosβx+c2sinβx)+Q*(x),

Z=e(α+λ)x(c1cosβx+c2sinβx)+eλxy*(x),y=eαx(c1cosβx+c2sinβx)+y*(x)

推论7y(x)=eλxQ(x)或Q(x)=e-λxy(x);Z(x)=eλxy(x)或y(x)=e-λxZ(x)

1.2 n阶常系数线性微分方程

方程

p0y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y′+pny=eλxpm(x)

(8)

的伴随方程为

(9)

(10)

p0y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y′+pny=pm(x)

(11)

在方程(8)中，令y=eλxQ(x)，求其各阶导数代入方程(8)，整理得到方程(9).

用eλx乘以方程(11)得到方程eλx(p0y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y′+pny)=eλxpm(x)，令Z(x)=eλxy，求其各阶导数代入，整理得到方程(10).

定义2若n阶常系数非齐次线性微分方程(9)是微分方程(8)的伴随方程，则称微分方程(8)是微分方程(9)的伴随前的微分方程.

显然，伴随前的方程(8)的自由项中含有eλx因子，其伴随方程(9)的自由项中不含eλx因子.当λ=0时，以上四个微分方程是同一个微分方程.

方程(8)、(9)、(10)、(11)对应的齐次微分方程的特征方程为

T(r)=p0rn+p0rn-1+…+pn-1r+pn=0

(12)

(13)

(14)

T(r)=p0rn+p0rn-1+…+pn-1r+pn=0

定理4特征多项式T(r),T1(r),T2(r)满足下列关系：

T1(r-λ)=T(r),T2(r+λ)=T(r),

T1(k)(r-λ)=T(k)(r),T2(k)(r+λ)=T(k)(r),1≤k≤n,

或T1(r)=T(r+λ),T2(r)=T(r-λ),

T1(k)(r)=T(k)(r+λ),T2(k)(r)=T(k)(r-λ),1≤k≤n

……

……

以上各项全部相加,按p0,p1,p2,…,pn提取公因式得:

=p0(λ+r)n+p1(λ+r)n-1+p2(λ+r)n-2

+…+pk(λ+r)n-k…+

pn-2(λ+r)2+pn-1(λ+r)+pn=T(r+λ)

同理可证T2(r)=T(r-λ)

在T1(r)=T(r+λ),T2(r)=T(r-λ)两边对r求k阶导数得

T1(k)(r)=T(k)(r+λ),T2(k)(r)=T(k)(r-λ),1≤k≤n,

推论8T1(-λ)=T(0)=pn,T2(λ)=T(0)=pn,

推论9若ri是特征方程(12)的特征根，则ri∓λ分别是特征方程(13)、(14)的特征根.

推论10若r1,r2,…,rn是微分方程(8)或(11)的特征根，则

推论11微分方程(8)、(10)分别是微分方程(9)、(11)的伴随前的方程.

推论12伴随前的方程(8)、(10)分别与其伴随方程(9)、(11)对于同一个λ是一一对应的.

定理5若r1,r2,…,rn是特征方程(12)的特征根，则微分方程(8)、(9)、(10)、(11)对应的齐次微分方程的通解分别为

Q(x)=c1e(r1-λ)x+c2e(r2-λ)x+…+cne(rn-λ)x=e-λxY(x),

Q(x)=(c1+c2x+…+cnxn-1)e(r-λ)x=e-λxY(x),

(3)当r1=r2=…=rk=r,rk+1≠…≠rn时，

Y(x)=(c1+c2x+…+ckxk-1)erx+ck+1erk+1x+…+cnernx,

Q(x)=(c1+c2x+…+ckxk-1)e(r-λ)x+ck+1e(rk+1-λ)x+…+cne(rn-λ)x,

Z(x)=(c1+c2x+…+ckxk-1)e(r+λ)x+ck+1e(rk+1+λ)x+…+cne(rn+λ)x,

Y(x)=(c1+c2x+…+ckxk-1)erx+ck+1erk+1x+…+cnernx

(4)当r1,2=r3,4=…=rn-1.n=α±βi,n=2k时，

Q(x)=e(α-λ)x[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]=e-λxY(x),

Z(x)=e(α+λ)x[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]=eλxY(x),

(5)当r1,2=r3,4=…=r2k-1,2k=α±βi,r2k+1≠…≠rn时，

Y(x)=eαx[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]+c2k+1er2k+1x+…+cnernx,

Q(x)=e(α-λ)x[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]+c2k+1e(r2k+1-λ)x+…+cne(rn-λ)x,

Z(x)=e(α+λ)x[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]+c2k+1e(r2k+1+λ)x+…+cne(rn+λ)x,

Y(x)=eαx[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]+c2k+1er2k+1x+…+cnernx

……

推论13Y(x)=eλxQ(x)或Q(x)=e-λxY(x);Z(x)=eλxY(x)或Y(x)=e-λxZ(x)

定理6若r1,r2,…,rn是特征方程(12)的特征根，Q*(x),y*(x)分别是微分方程(9)、(11)的特解，则微分方程(8)、(9)、(10)、(11)的通解分别为

(1)当r1≠r2≠…≠rn时，

y=c1er1x+c2er2x+…+cnernx+eλxQ*(x),

Q=c1e(r1-λ)x+c2e(r2-λ)x+…+cne(rn-λ)x+Q*(x),

Z=c1e(r1+λ)x+c2e(r2+λ)x+…+cne(rn+λ)x+eλxy*(x),

y=c1er1x+c2er2x+…+cnernx+y*(x)

(2)当r1=r2=…=rn=r时，

y=(c1+c2x+…+cnxn-1)erx+eλxQ*(x),Q=(c1+c2x+…+cnxn-1)e(r-λ)x+Q*(x),

Z=(c1+c2x+…+cnxn-1)e(r+λ)x+eλxy*(x),y=(c1+c2x+…+cnxn-1)erx+y*(x)

(3)当r1=r2=…=rk=r,rk+1≠…≠rn时，

y=(c1+c2x+…+ckxk-1)erx+ck+1erk+1x+…+cnernx+eλxQ*(x),

Q=(c1+c2x+…+ckxk-1)e(r-λ)x+ck+1e(rk+1-λ)x+…+cne(rn-λ)x+Q*(x),

Z=(c1+c2x+…+ckxk-1)e(r+λ)x+ck+1e(rk+1+λ)x+…+cne(rn+λ)x+eλxy*(x),

y=(c1+c2x+…+ckxk-1)erx+ck+1erk+1x+…+cnernx+y*(x)

(4)当r1,2=r3,4=…=rn-1,n=α±βi,n=2k时，

y=eαx[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]+eλxQ*(x),

Q=e(α-λ)x[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]+Q*(x),

Z=e(α+λ)x[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]+eλxy*(x),

y=eαx[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]+y*(x)

(5)当r1,2=r3,4=…=r2k-1,2k=α±βi,r2k+1≠…≠rn时，

y=eαx[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]+c2k+1er2k+1x+…+cnernx+eλxQ*(x),

Q=e(α-λ)x[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]+c2k+1e(r2k+1-λ)x+…+cne(rn-λ)x+Q*(x),

Z=e(α+λ)x[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]+c2k+1e(r2k+1+λ)x+…+cne(rn+λ)x+eλxy*(x),

y=eαx[(c1+c2x+…+ckxk-1)cosβx+(d1+d2x+…+dkxk-1)sinβx]+c2k+1er2k+1x+…+cnernx+y*(x)

……

推论14y(x)=eλxQ(x)或Q(x)=e-λxy(x);Z(x)=eλxy(x)或y(x)=e-λxZ(x)

2 应用实例

例1求方程y″-4y′+4y=8x2+e2x+sin2x+cos2x的通解

解(1)y″-4y′+4y=0的通解

T(r)=r2-4r+4=0,r1=r2=2,Y(x)=(c1+c2x)e2x

(2)y″-4y′+4y=8x2+e2x+sin2x的特解

第一，y″-4y′+4y=8x2的特解y1，其伴随微分方程与伴随前的方程相同.

第二，y″-4y′+4y=e2x的特解y2,其伴随微分方程为

第三，y″-4y′+4y=sin2x,y″-4y′+4y=cos2x的特解y31,y32

y″-4y′+4y=e2ix的伴随微分方程为

(3)y″-4y′+4y=8x2+e2x+sin2x+cos2x的通解为

例2设y‴-y″-y′+y=eλx(1+x+x2)

(1)求y‴-y″-y′+y=1+x+x2的伴随前的微分方程及其通解

(2)求y‴-y″-y′+y=eλx(1+x+x2)的通解

(3)求方程y‴-y″-y′+y=(1+x+x2)(1+e2x+sinx+cosx)的通解

解(1)y‴-y″-y′+y=1+x+x2的伴随前的微分方程及其通解

不难求得y‴-y″-y′+y=1+x+x2的通解为y=(c1+c2x)ex+c3e-x+6+3x+x2.

eλx(y‴-y″-y′+y)=eλx(1+x+x2)，令Z(x)=eλxy,求其导数后，代入整理得

Z‴(x)-(3λ+1)Z″(x)+(3λ2+2λ-1)Z′(x)+(-λ3-λ2+λ+1)Z(x)=eλx(1+x+x2)

或根据推论12，得y‴-y″-y′+y=1+x+x2的伴随前的微分方程为

根据推论14，其通解为

Z(x)=eλxy=(c1+c2x)e(1+λ)x+c3e(-1+λ)x+eλx(6+3x+x2)

(2)y‴-y″-y′+y=eλx(1+x+x2)的通解

令y=eλxQ(x),求其导数后，代入上述方程整理得伴随微分方程

Q‴(x)+(3λ-1)Q″(x)+(3λ2-2λ-1)Q′(x)+(λ3-λ2-λ+1)Q(x)=1+x+x2,

的通解为

(3)y‴-y″-y′+y=(1+x+x2)(1+e2x+sinx+cosx)的通解为

1)y‴-y″-y′+y=0的通解为Y(x)=(c1+c2x)ex+c3e-x

2)由(2)得，当λ=0时，y‴-y″-y′+y=1+x+x2与其伴随微分方程相同

其中T=1,T′=-1,T″=-2

通解y=(c1+c2x)ex+c3e-x+6+3x+x2

特解y1=6+3x+x2；

当λ=2时，y‴-y″-y′+y=e2x(1+x+x2)伴随微分方程为

其中T=3,T′=7,T″=10,

当λ=i时，y‴-y″-y′+y=eix(1+x+x2)伴随微分方程为

Q‴+(-1+3i)Q″+(-4-2i)Q′+(2-2i)Q=1+x+x2,

其中T=2-2i,T′=-4-2i,T″=-2+6i

y3的实部y31与虚部y32分别是方程

y‴-y″-y′+y=(1+x+x2)cosx，y‴-y″-y′+y=(1+x+x2)sinx的特解.

3)y‴-y″-y′+y=(1+x+x2)(1+e2x+sinx+cosx)的通解

y=(c1+c2x)ex+c3e-x+y1+y2+y31+y32=(c1+c2x)ex+c3e-x+6+3x+x2

对于求y‴-y″-y′+y=1+x+x2的伴随前的微分方程和其通解，其伴随方程与参变量λ无关，问题容易解决.而对于方程y‴-y″-y′+y=eλx(1+x+x2)，求参变量λ的微分方程方程和其通解，其伴随方程与参变量λ有关，问题也能解决.这样为一个确定的线性系统讨论研究，提供了一条很有帮助的路径.

3 结论

若微分方程(1)或(8)对应的齐次微分方程的通解为Y(x)，则其伴随微分方程(2)或(9)对应的齐次微分方程的通解为e-λxY(x)，反之亦然.若伴随微分方程(4)或(11)对应的齐次微分方程的通解为Y(x)，则微分方程(3)或(10)对应的齐次微分方程的通解为eλxY(x)，反之亦然.

若微分方程(1)或(8)的通解为Y(x)+eλxQ*(x)，则其伴随微分方程(2)或(9)通解为e-λxY(x)+Q*(x)，反之亦然.若微分方程(3)或(10)的通解为eλxY(x)+eλxy*(x)，则其伴随微分方程(4)或(11)通解为Y(x)+y*(x)，反之亦然.其中Y(x)是伴随微分方程(4)或(11)对应的齐次微分方程的通解，Q*(x)是伴随微分方程(2)或(9)的特解,y*(x)是伴随微分方程(4)或(11)的特解.