偏心磁极永磁电机气隙磁密解析计算方法研究

赵国新　张宇　葛红岩　刘勇　白保东

摘 要：对于表贴式永磁电机，为了获得良好的电动势波形，降低齿槽转矩，电机往往会采用偏心型磁极来优化气隙磁密波形，使气隙磁密波形尽量正弦分布。虽然有限元法可以对气隙磁密进行计算、求解，但电机建模、有限元求解消耗时间较长，在工程应用和电机的初步设计中有一定的局限性。为了研究计算偏心型磁极电机气隙磁密波形，本文首先根据二维电磁场理论，建立永磁电机数学模型，采用解析计算方法分别计算了常规等厚度瓦片型磁极和偏心型磁极电机气隙磁密的分布;然后将计算结果与有限元仿真结果进行了对比，误差不超过4%，验证了计算方法的正确性。最后通过对已制成的3台样机进行实验并与计算结果进行对比，误差在5%以内，验证了该方法的广泛适用性。

关键词：偏心磁极;气隙磁密;解析法;等效面电流法;有限元;永磁电机

DOI：10.15938/j.emc.2020.06.004

中图分类号：TM 351文献标志码：A 文章编号：1007-449X（2020）06-0024-09

Prediction of flux density distribution inpermanent magnet motor with eccentric magnetic pole

ZHAO Guo-xin1， ZHANG Yu1，2， GE Hong-yan2， LIU Yong2， BAI Bao-dong1

（1. School of Electrical Engineering， Shenyang University of Technology， Shenyang 110870，China;

2.Guizhou Aerospace Linquan Motor Co.， Ltd， Guizhou 550003， China）

Abstract：Eccentric magnetic pole is often used in the surface-mount permanent magnet synchronous motor （PMSM）to optimize the air gap flux density distribution and make the electromotive force（EMF） waveform sinusoidal as much as possible in order to obtain an ideal EMF waveform and reduce the cogging torque. Although the finite element analysis（FEA） can be used to solve and calculate the air gap magnetic density， the motor modeling and finite element solution takes a long time， causing limitations in engineering and preliminary design process of the motor. In order to study the air gap magnetic-density waveform， the two-dimensional and mathematical model were used to calculate air gap magnetic field of tile magnetic pole and eccentric magnetic pole. Then the calculation results were compared with the FEA results， and the error does not exceed 4%，which verifies the correctness of the calculation method. Finally three prototypes were tested and compared with the calculated results， and the error is within 5%， which verifies the wide applicability of the method.

Keywords：eccentric magnet pole;air gap flux density;analytical method; surface current method; finite element method; permanent magnet motor

0 引 言

永磁电机的空载气隙磁密对电机的运行特性具有重要的影响，气隙磁密的谐波分量将会引起电机转矩波动增加，振动增大，同时也会增加高次谐波损耗增加而引起电机温升过高等问题，所以在电机设计之初就应该对电机的气隙磁密进行优化分析，从而得到较好的气隙磁密波形。对于表贴式永磁电机来说，最常用的方法是采用偏心型磁极使电机中各处的气隙长度不均，从而使电机的空载气隙磁密波形更加趋于正弦。

气隙磁密波形的计算一般分为解析法和数值法两种。解析法是基于麦克斯韦方程组，通过解算二维磁场中的拉普拉斯方程或者泊松方程来得到电机气隙处的磁密分布;数值解法则是基于有限元算法，将连续的模型进行离散化再进行计算，具有很高的计算精确度，对复杂模型的适用性更强，但其计算时间长，不适合用于工程实践以及电机初步设计中。国内外学者为了计算永磁电机中气隙磁密的分布做了许多研究，文献[1]中，对3种不同充磁方式永磁体产生的气隙磁密波形进行了仿真分析，并得到了不同充磁方式下气隙磁密的分布规律;文献[2]基于保角变换提出了一种时效计算方法在频域下对永磁电机空载情况下对电机的气隙磁密进行了解算，并通过有限元法证明了计算方法的正确性;文献[3]和文献[4]基于子域模型计算方法对不同极槽配合、不同充磁方式下的表贴式永磁电机气隙磁密进行了计算，并通过有限元分析以及实验验证，证明了计算方法的正确性;文献[5]通过子域模型法对径向以及切向气隙磁密进行了分析计算，同时计算了表贴式永磁电机的齿槽转矩，并将计算结果与有限元分析进行了对比，验证了結果的正确性;文献[6]通过拉普拉斯方程以及泊松方程计算了在平行充磁下，分块永磁体的气隙磁密分布，并与有限元仿真进行对比;文献[7]提出了一种新型表贴式永磁电机结构，并通过仿真对气隙磁密波形进行了优化;文献[8]分析了表贴式永磁电机空载时的磁密分布及谐波分布，并通过有限元法对电机的空载损耗进行了分析计算;文献[9-11]根据二维电磁场理论建立了偏心状态下永磁无刷直流电机气隙磁密的数学模型，计算了偏心状态电机的磁场分布和性能变化，并通过仿真和实验结果进行了验证;文献[12]通过解算拉普拉斯方程和泊松方程对偏心状态下的磁场分布进行了计算，并分析了不同偏心距下电机的不平衡磁拉力分布。上述文献中的解析法虽然可以得到精确的计算结果，但由于计算公式繁多复杂，且所研究模型均为等厚瓦片型磁极永磁电机，并没有对具有偏心型磁铁的永磁电机模型进行分析计算。而使用有限元法对偏心型磁极永磁电机进行计算时，为了得到较好的气隙磁密波形，需要多次建模进行分析计算，耗费时间长。

为解决上述问题，根据二维电磁场计算理论建立表贴式永磁电机的等效数学模型，分别对等厚度瓦片型磁极和偏心型磁极永磁电机的气隙磁密进行分析计算，然后通过有限元算法与验证实验进行对比，证明了计算方法的正确性和广泛适用性。本文所采用的方法具有计算精度高，与电机结构参数联系强等特点，适用于工程实际分析以及电机优化设计中。

1 瓦片型磁极气隙磁密计算

对于内转子表贴式永磁电机，其磁极形状如图1所示。在进行分析之前，为了进行简化计算，首先做出如下假设[13]：

1）忽略电机绕组的端部效应，气隙磁密沿轴向分布相同;

2）铁磁材料磁导率无穷大且各向同性;

3）永磁体材料充磁均匀并且具有线性退磁曲线，如衫钴，钕铁硼等。

1.1 等厚度瓦片型永磁体的等效数学模型

磁介质经过外磁场磁化后有了磁化强度，在介质体内和表面形成束缚电流，对于均匀磁化的介质，束缚体电流为零，仅产生束缚面电流[14-15]。对于外界而言，永磁体可以用环绕永磁体表面的一组带电流的线圈来等效，如图2所示。

对于具有线性退磁曲线的永磁体来说，其面电流密度为

式中Hc为永磁体的矫顽力。

首先对永磁体等效模型中的單根线圈产生的磁密进行分析，如图3所示。假定气隙中存在一个电流为i的理想线圈，线圈两条边的跨度角为β，等效线圈所在圆半径为R3，A点（观测点）距离线圈中心的角度为θ。对于内转子表贴式永磁电机来说，R1和R2分别为永磁体的内径和气隙内径，R1的内部和R2外部分别为电机的转子和定子铁心部分，A点相当于气隙处的某个点。

根据图3，在极坐标下求解二维磁场的拉普拉斯方程，即可得到单个线圈在半径为R2的气隙圆周上的产生的磁密分布

对于p对极的电机来说，气隙圆周方向存在2p个单根线圈，产生的磁密分布为

根据式（4）求出了2p个单根线圈的空间磁密分布。对于等效永磁体模型，只需将构成永磁体的每个线圈单独进行计算，再求和即可得到永磁体的空间磁密分布。但由于永磁体充磁方向的不同，其等效数学模型不同，空间磁密分布也不相同。

1.2 不同充磁方式下电机的气隙磁密

永磁体的充磁方式一般分为径向充磁和平行充磁两种，不同的充磁方式将会造成空间气隙磁密分布不同，其数学模型也有区别。

径向充磁方式的永磁体其磁力线平行于半径方向，数学模型如图4所示。根据图4（a），对式（4）进行积分，即可得到径向充磁永磁体在半径为R2的圆上所产生的气隙磁密Brad[16]为

式中：a，b，c分别为电机定子铁心内径，永磁体内径和永磁体外径;α为永磁体所占空间机械角度。

永磁体采用平行充磁时，其磁力线的方向总是平行于永磁体的中心线，数学模型如图4（b）所示，可分为两部分进行计算。其中第一部分与径向充磁相同，但是其幅值比径向充磁要小，其表达式为

第二部分是由圆弧上表面和下表面的等效面电流共同作用而形成的，计算公式如式（8）～式（10）所示

平行充磁时气隙磁密为上面两部分产生的气隙磁密之和，即

2 偏心磁极电机气隙磁密计算

根据上述式（5）～式（11）可求得等厚瓦片型磁极在平行充磁和径向充磁两种充磁方式下的气隙磁密分布规律。然而对于不等厚度的偏心型磁极，永磁体的径向厚度以及气隙的径向长度是关于空间角度θ（如图3）的函数，因此需要进行进一步分析。

偏心型磁铁如图5所示，永磁体的内圆是以O点为圆心，永磁体外圆是以O1为圆心，两个圆心之间的线性距离为h。永磁体的厚度随着空间角度γ的变化而变化，其所产生的磁动势在空间上各点也各不相同。永磁体的外径尺寸与圆心O的距离随角度γ的变化规律

永磁体外径随空间角度的变化而造成了磁路中永磁体的磁势、气隙的长度随空间角度的不断变化，永磁体内部各处的工作点也不相同。通过有限元仿真计算得到的一块偏心型永磁体内部磁通密度Bm随空间角度γ的变化规律如图6所示。因此对于偏心型永磁体来说不能像瓦片型永磁体一样假设整块永磁体的工作点相同，需要对每一处的工作点单独进行计算。

永磁体的工作点是由永磁体自身的退磁曲线和外磁路特性共同决定的，如图7所示。

永磁电机外磁路特性由气隙磁阻和铁磁材料磁阻共同决定。在电机中，铁磁材料的磁阻要远远小于气隙磁阻，为简化计算，假设铁磁材料的磁导率无穷大，铁心磁阻可以忽略，整个磁路的磁阻仅由电机气隙所决定。根据图7，经过计算负载线和退磁曲线的交点为永磁体的工作点，即

式中：Bw，Hw分别为工作点处的磁密和矫顽力;a为电机定子内径;c（γ）为永磁体外径，可以通过式（12）计算得到。根据式（13），对永磁体工作点进计算，即可得到永磁体的虚拟矫顽力为

将式（12）、式（14）带入到式（5）～式（11）的c和Hc中，即可分别求得径向充磁和平行充磁下的偏心型磁极永磁电机气隙磁密的分布。

3 定子开槽对气隙磁密的影响

在上文的分析中计算了等厚瓦片型磁极和偏心型磁极永磁电机的气隙磁密分布，但没考虑到定子开槽对永磁电机气隙磁密的影响。定子开槽会在原有的气隙磁密上叠加一系列的齿谐波，引起气隙磁密波形部分畸变，从而产生一系列的凹点。

电机气隙中磁力线在齿和槽下的路径如图8（a）所示。在忽略漏磁通的情况下，当磁力线在齿下时，磁力线将会垂直进入定子铁心;当磁力线处于槽口下面时，磁力线会有发生弯折，经过齿侧部进入齿中，也就是说，槽口下的磁力线其所经历的气隙长度要大于处于齿下的磁力线经过的气隙长度。如果假设磁力线总是沿定子内径的法向进入定子铁心中，那么定子铁心的数学模型如图8（b）所示，槽口等效成一个向上的尖峰，磁力线经过的气隙长度与槽下磁力线经过的气隙长度相同。

在进行等效时，假设A点（如图3）为观测点，则定子内径的近似变化规律为

其中θ0，θm，θ1分别为槽口起始位置的角度、槽中心线的角度和槽口末端位置的角度。

将a（θ）带入到式（5）中即可求得在考虑定子开槽的情况下，电机的气隙磁密分布规律。

4 有限元验证

采用有限元算法对一台表贴式永磁同步电机的径向气隙磁密进行分析，电机参数如表1所示，经过有限元仿真得到的磁力线图和磁密云图如图9所示。

由图10（a）可知，气隙磁密Bg的计算值与仿真值得波形很接近，其波形误差不大。图10（b）分别对计算气隙磁密波形和仿真气隙磁密波形进行了谐波分析，基波的误差为1.3%，各次谐波的误差不超过4%，验证了计算结果的正确性。

5 对比实验验证

采用电机对拖的实验方法对表1中所示的永磁同步电机样机的气隙磁密以及线反电势进行测量，并与计算结果进行对比，实验如图11所示。

将一根细导线从电机气隙中穿过并且紧贴在定子铁心内侧，电机旋转时，导线将会切割磁感线而产生感应电压，感应电压除以铁心长度和磁场旋转的线速度即为气隙磁密。样机经实验所测的气隙磁密结果与解析法理论计算结果的对比如图12（a）所示，可见实测值与误差值相差不大。对气隙磁密進行傅利叶分解，得到各次谐波分量幅值Bv，并进行对比如图12（b）所示。若忽略电机漏磁，气隙磁通全部由定子齿部进入到定子铁心中，当电机以角速度ω旋转时，根据气隙磁密各次谐波的幅值Bv可以计算出电机空载时各次谐波反电势的波形，将谐波反电势进行求和得到电机空载反电势，即

式中：fv、kwv、Φv分别为v次谐波的频率、谐波绕组系数和磁通;N为电枢绕组每相串联匝数;lef为电枢计算长度;τ为电机极距。

根据气隙磁密分析结果算出电机的线反电势，并和实验值进行对比，如图12（c）所示。由图12（c）可知，计算结果与实测结果波形误差不大。图12（d）分别对计算反电势和实测反电势进行傅利叶分解对比，基波分量误差为4.2%，其他各次谐波分量误差不超过9.2%，验证了计算方法的正确性。

为验证计算方法的广泛适用性，除表1中所示结构参数电机之外，还对另外两台结构参数不相同的永磁同步电机样机进行的相同的实验测试，电机的参数如表2所示。

将样机A与样机B的实测结果与计算结果进行对比，其结果如图13所示。两台样机所测得的气隙磁密和反电势大小与计算值相比误差不大于5%，精度可以达到工程实际要求，证明了计算方法的广泛适用性。

6 结 论

本文首先通过求解二维场中的拉普拉斯方程，建立永磁电机的数学模型，通过解析计算的方法分别计算了具有瓦片型/偏心型磁极的表贴式永磁电机中气隙磁密，研究了电机定子开槽时气隙磁密的计算方法。然后将计算结果与有限元法仿真结果和三台不同极槽配合样机的实际测试结果分别进行对比，其基波分量误差不超过4.2%，各次谐波分量误差不超过9.2%，证明了计算方法具有很高的精度和很强的适用性，便于设计人员在电机初步设计中对气隙磁密进行优化分析以得到更好的气隙磁密波形。对于其他形状永磁体，诸如磁极削角，面包型磁极等，也可以采用此数学模型根据上述计算过程进行分析计算。

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（编辑：刘素菊）

收稿日期： 2018-12-27

基金项目：国家自然科学基金（51407119）

作者简介：赵国新（1979—），男，博士，研究方向为永磁电机理论与设计;

张 宇（1992—），男，硕士研究生，研究方向为永磁电机振动与噪声;

葛红岩（1989—），男，硕士，研究方向为永磁电机设计;

刘 勇（1985—），男，硕士，研究方向为永磁电机设计;

白保东（1955—），男，博士，教授，博士生导师，研究方向为电气设备电磁场分析与优化设计。

通信作者：赵国新