基于微分学视角举例探析不等式的证明方法

林见松 赵凤华

摘   要：证明不等式的理论方法多种多样，微分学中有诸多理论便是解决不等式证明问题的有效工具。此文基于微分学理论角度，运用函数的单调性、函数的最值、函数微分中值定理及函数的凹凸性等知识，通过举例探析证明不等式的四种有效方法，梳理总结其证明思路。同时应注意运用不同理论方法时，证明思路并不是各自独立的，它们之间也存在相通的一面。

关键词：不等式  单调性  最值  微分中值定理  凹凸性

在学习函数微积分时，我们常会遇到不等式的证明问题，该类问题是微分学的基本应用之一，也是专升本或考研考试中热门考点，为方便学习者深入理解掌握，本文以几道不等式证明为例，探析运用微分学相关理论证明不等式的基本方法，梳理总结其证明思路和规律。

1  利用单调性证明不等式

理論与方法：（1）将不等式移项，使一边为零，令不等于零的一边为函数f（x），根据已知条件找出不等式成立的x的范围I;（2）在区间上判断f（x）的单调性，即求函数f（x）的导数f'（x），证明f'（x）>0或f'（x）<0;（3）根据单调性及区间端点的函数值或其左（右）极限得到所要证明的不等式。

2  利用函数最值证明不等式

此法证明不等式的理论与方法：（1）令，问题转化为证成立;（2）证明函数F（x）在区间I上满足;（3）写出证明结论。

3  利用微分中值定理证明不等式

理论与方法：微分中值定理主要包括罗尔定理 、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。常认为罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它们反映导数值与函数值之间的内在联系。拉格朗日中值定理在证明不等式方面是一个非常方便的工具。

拉格朗日中值定理：如果函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，那么在（a，b）内至少存在一点ζ使得或。

若能说明f'（x）在（a，b）上存在某一范围内，如（其中ζ∈（a，b），m

遇到形如上述结构形式的不等式的证明可按如下步骤证明：（1）根据不等式特征（或变形后）选取适当的函数f（x），验证在给定的区间上f（x）满足拉格朗日定理条件;（2）结合函数单调性的判断方法，确定f'（x）在给定区间上的范围;（3）给出所证不等式结论。

例4 证明：当0

分析：原不等式即为

。

证：设在由拉格朗日中值定理知，在（a，b）内至少存在一点ζ使得而

故有，即得：

对上述例3应用此法又可证明如下：

证法2：当x=0时，“=”成立显然。

当x>0时，令，则在[0，x]上使用拉格朗日中值定理得，

因，且是增函数，所以。

从而

当x<0时，类似可证得.

4  利用函数的凹凸性证明不等式

由函数凹凸性判定定理知，若函数f（x）在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内具有一阶和二阶导数，若在（a，b）内f''（x）>0，称函数f（x）在（a，b）上的图形是凹的;若在（a，b）内f''（x）<0，称函数f（x）在（a，b）上的图形是凸的。又根据函数凹凸性定义，对于定义在区间I上的连续函数f（x），若满足（1）在I上的图形是凹的，则有;（2）在I上的图形是凸的，则有，其中x1，x2为区间I上任意两点。

5  结语

通过以上例题探析发现，运用微分学理论证明不等式时，往往考虑构造一满足所用理论条件的辅助函数，此过程是解决问题的关键，我们可直接用观察法选取适当的函数或先变形，再用观察法选取适当的函数;同时，也要注意同一题目可运用以上证明方法中的某几种，证明方法并不是唯一的。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学上册[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3] 柴长建.微分中值定理的教学实践与探索[J].高等数学研究，2010，13（5）：2-5.