用空间向量探究立体几何中的存在型问题

曹娜

摘  要：在高中阶段，立体几何这一部分占有着十分重要的地位，且更是高考的必考内容。空间向量作为求空间角和距离的有利工具，是历年高考的必考点。立体几何中存在型问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形等）是否存在或某一结论是否成立。此类问题的难点在于涉及的点具有运动性和不确定性，用传统方法解决起来的难度较大。若用空间向量的方法来处理，通过待定系数法求解，则思路简单，解法固定，操作方便。因此，在数学教学中，如何提高学生利用空间向量解决立体几何中的存在型问题，则为教师提出了更高的教学发展要求。

关键词：空间向量;立体几何;存在型问题

空间向量在平面向量，立体几何等教学之后，空间向量既体现了几何图形直观，又提供了代数定量刻画，在这个过程中，向量与起点无关的自由性为求解带来很大便利。以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个重要类型，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐。

一、学生解决立体几何中的存在型问题时所产生的问题：

1、基础知识差。数学是一个知识积累的过程，在利用空间向量探索立体几何的存在型问题时，不仅要求学生对立体几何中点、线、面的位置关系和度量关系熟练掌握，同时对空间直角坐标的建立、空间向量及其运算，空间向量坐标表示及应用做到运用自如。但在实际的数学学习过程中，许多学生对空间几何体的点、线、面位置关系没有熟练掌握，数学运算较差，因此用向量探究立体几何的存在型问题时常常不尽人意。

2、题目分析过程中，读不懂题。缺乏直观想象能力和空间观念。虽然知道要用向量，但不能准确建立空间直角坐标系，不能正确地将点、线用空间向量表示，向量运算结果不能准确地转化成几何度量关系和位置关系，导致学生将大量时间浪费在题目分析上和计算上。

所以，在数学教学过程中，对于利用空间向量探究立体几何的存在型问题时，老师必须注重对学生空间观念、直观想象的培养，注重对解题思维的引导，对向量运算的训练，从而提高学生分析问题和解题的能力。

二、用空间向量探究立体几何的存在型问题的措施

1、引导学生认真审题，分析题目中几何体的位置关系和度量关系，明确题目考察方向，做到有的放矢。对于数学题进行认真审题是问题解决的基础。在题目分析过程中，注重对基础知识的巩固。

例如对于下面题目：

（2016北京理）如图，在四棱锥  中，平面  平面

（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求  的值;若不存在，说明理由.

这道题以四棱锥为背景，考察线面垂直，线面成角及点的存在判断问题。对于这道题的分析，教师引导学生从面面垂直得出线面垂直，及AD的中线PO垂直底面ABCD.

又由AC=CD，得到 中AD边的中线CD也是高线，由此得出三条两两垂直的线，可以作为坐标轴建立空间直角坐标系。又由AB=1等长度条件，可以得出相应点在空间直角坐标系中的坐标。引导学生分析还能推出哪些线面垂直关系。得出AB与面PAD垂直，PO与面PAB垂直，又得出PD与面PAB内的线都垂直。

对于这类不以长方体为载体的问题，老师首先引导学生寻找题目中的垂直关系，以便可以建系。然后再利用空间向量进行求解。通过一步步引导学生分析题中的垂直关系及长度，使学生对立体几何中的位置关系更加巩固掌握，使学生建立空间观念，提升直观想象。

2、把握做题原则，注重通式通法的教学，提升解决问题的能力。例如对如下题目：

如图，在长方体 中 ，E为CD中点.

（2）在棱 上是否存在一点P，使得DP//平面 若存在，求AP的长;若不存在，说明理由.

以长方体为载体，考查线线垂直，点的存在判断问题。在教师引导学生分析后，让学生用综合几何法和空间向量法两种方法进行求解。

通过两种方法对比，可以让学生发现解决问题的关键。发现两种方法的共性与差异。

此类“是否存在”问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来，如果不存在，需要说明理由。常用“肯定顺推”的方法，用空间向量法来处理，通过待定系数法求解。

归纳用向量研究存在型问题的方法，可以得出通性通法，即程序思想方法：

第一步：建立空间直角坐标系。

第二步：假设存在，设出点坐标，写出相关点坐标。

第三步：写出相应向量坐标。

第四步：得出关于变量的方程。

第五步：求出变量的值。

第六步：验证得出结论。

通过以上分析，得到解决问题的程序，提炼出解决问题的通式通法。

3、关于变式训练的应用教学。使学生学会变式训练，举一反三，加深理解知识间的联系，提升解题能力。例如：引导学生将题中条件改变，或将问题改变，由学生动手，得到变式训练题，再进行解答。不足之處，教师进行补充。在教师指导下，学生加深对该知识点的理解，提升数学运算素养。

不积跬步，无以至千里。在数学教学过程中，教师必须积极引导学生思维，通过多次练习，逐步提升，从而促进学生的数学核心素养形成。

参考文献

[1]  李龙才  普通高中数学课程标准2017年版  人民教育出版社

[2]  2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理）