数学解题要“多想少算”

◇ 浙江 王加义

同一个数学问题，学生切入的角度不同，解答的方法也不尽相同，但有的方法烦琐，有的方法简捷，对于选择题的求解，简捷的方法往往可以“一望而答”.这些简捷方法源于对题目条件的仔细审视，对问题本质的深入挖掘，即通过“多想”达到“少算”的目的，这也是高考对考生的重要考查内容.

1 利用函数性质，局部判断

①f(x)是偶函数；

③f(x)在[－π，π]有4个零点；

④f(x)的最大值为2.

A.①②④ B.②④

C.①④ D.①③

因为f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，f(x)在[－π，π]的图象如图1所示，故可利用x＞0时，f(x)的性质进行判断.

图1

如图1，因为f(0)＝f(π)＝f(－π)＝0，所以f(x)在[－π，π]有3个零点.故①④正确，选C.

本题若直接求解，分类讨论的标准不易确定，而利用函数的奇偶性和周期性，只需对函数的局部性质进行研究，从而简化了思维过程.

2 利用图形差异，过滤错选

给出函数关系式，判断函数图象，是近年高考全国卷中的常考题型，此类问题求解中需先结合函数的奇偶性、单调性等进行判断，再结合各选项所给图象的差异特征进行筛选，得出正确图象.

3 结合运算关系，以“形”破“数”

根据题目条件(a－b)⊥b 可构造直角三角形(如图2所示)，又因为|a|＝2|b|，所以a与b 的夹角为.故选B.

图2

本题也可采用常规解法，由(a－b)⊥b 可知(a－b)b＝0，即ab－b2＝0，则所以a 与b 的夹角为.这种方法虽然难度也不大，但结合图形进行计算更直观.

4 引入特殊数值，准确判断

A.a＜c＜b B.a＜b＜c

C.b＜c＜a D.c＜a＜b

综上，b＞c＞a，故选A.

求解数的大小比较问题，常规方法是构造相应函数，利用函数的单调性判断，或通过作差、作商进行比较.本题求解中通过引入特殊值，方法更为简捷.

5 把握极限位置，一望而答

图3

图4

由已知条件可知△ADQ 为等边三角形，所以当点P 与A 或D 重合时，即，取得最大值.当点P 为AD 的中点时取得最小值.所以的取值范围为[，8]，故选C.

本题若采用常规方法，设

所以

如图5，过点D 作DE 垂直AB 于点E，由已知条件可得AE＝2，AD＝4，所以cos∠DAE＝，所以

所以

图5

当然也可以采用坐标法求解，此处略.

总之，对学生“多想少算”能力的培养，既是高考要求，也是教学要求.教师要在平时的教学中，有针对地进行这方面的训练，才能保证学生在考试中有目的性地先思考，再计算.