也谈桌边滑链的飞离问题

汤幼强 黄亦斌

(1南昌县莲塘第一中学，江西 南昌 330200；2江西师范大学，江西 南昌 330031)

链条(或有质量软绳)模型是大家经常讨论的一个话题，通常当成变质量问题来处理。一个常见情况是链条沿光滑桌边滑落[1-6](见图1(a))。此时需要注意一种可能性，即滑链速度较大时，它可能在顶角处飞起来，与桌面脱离。要避免这种可能性，需要加装一个挡板(如图1(b))，否则滑链飞起来后会很难处理。

图1 桌边滑链与挡板

可以通过计算支持力来判断滑链何时飞起。同时，也可以将具有奇异性的顶角点规则化为一段圆弧来考虑细节。将顶点规则化为圆弧，这只是一种常见方案而已，当然也可设定其为其他光滑曲线。曲线不同，自然下面讨论一和讨论二中的许多细节会不同，但不会影响一些基本的结论，比如链条是可能飞起来的。弧长线度趋于零(即讨论三中的顶角)的极限行为也将与具体的规则化方案无关。下面分几种情形来考虑。

1 初始静止时链条完全水平

如图2所示，柔软细链条的质量均匀分布，长度为L，线密度为λ，桌边的圆弧半径为R。接触面光滑。假设链条一端从桌边圆弧的起始位置A被触发下滑，初始速度为零。文献[2]考虑了该问题，但出现了不当分析。

图2 桌边滑链的初始和中间状态

设链条最下端仍在圆弧上，离开OA的夹角为α(即文献[2]中的2θ，见图2(b))。取圆弧上的一段微元(见图3)，其角坐标为β(0≤β≤α)，角宽度为dβ。一般地，只要链条贴合弧线，那么对于该微元可列出切向和法向的动力学方程：

图3 微元分析

其中dm=λds=λRdβ。文献[2]是基于式(2)给出对支持力dN的分析，但对其中的张力T没有给出表达式，从而给出了不当的定性分析。下文即是要得到张力的解析结果。

式(1)中的切向加速度at是整段绳子所具有的，不论其处于圆弧段(此时还有法向加速度)还是水平段，故它与β无关，只跟时间有关。其表达式有赖于滑链的最下端在圆弧上还是已经过B点垂下，图中是前者。设经过dt时间，滑链下端的角坐标α增加dα，于是链条的势能减少λgRdα(1-cosα)(相当于把dα的一段从水平桌面搬到链条最下端处)。又设各处的切向速度增加dvt，则链条的动能增量为λLvtdvt。根据机械能守恒定律，有

λLvtdvt=λgRdα(1-cosα)

两边同除以dt，注意vt=Rdα/dt，故得[2]：

(3)

对于张力，由式(1)对β积分(注意at是常数)，并利用边界条件T|β=α=0，可以得到

T=λRat(β-α)+λRg(cosβ-cosα)

(4)

将式(3)代入即得张力的表达式

(5)

由此不难得到桌面水平部分与圆弧部分交界的A点处的张力：

T|β=0=λ(L-Rα)at

(6)

这正好是提供水平部分加速度的拉力。(默认L>Rα，即链条足够长，不会比1/4圆弧更短；或者即使更短，我们也只是考虑仍有水平部分时的状态。)

文献[2]中认为，张力从β=0开始随β增加而单调减小，但实际上并非如此。这导致文献[2]中随后的讨论需要重新进行。由式(5)或式(1)可以得到，

(7)

下面讨论微元所受的支持力dN。式(2)中除了张力外还有速度，而速度还赖于初始条件(张力则只依赖于当前的位形)。根据题设，v|α=0=0，可以由机械能守恒定律得到

(8)

于是，把式(5)和式(8)代入式(2)，即得

(9)

现在可以讨论dN的变化趋势以寻找其最小值了。去掉正系数，式(9)的导数为

换个思路：dN的最小值一定在起点β=0或终点β=α的处。要想链条与弧线贴合，只需这两端的支持力非负，此外还有L>Rα。于是得到不等式组：

(10)

前两个式子分别表示β=0处和β=α处的dN≥0。三式都取等号对应下面参数空间中的三条临界线(依次编号)，且各自的允许区域都在各自临界线的左边，这只要让R/L→0即可看出来。而P点的数值坐标是(1.14741,49.9349)。于是，最终的允许区域如图4所示是曲线③与曲线②所围成的左下方区域。

图4 链条初始水平时参数空间中的允许区域

2 初始静止时链条覆盖整个圆弧

下面讨论另一种情形：链条初始静止时覆盖了整个1/4圆周，水平部分和垂直部分都有。设某时刻下端离B点的距离为y(初始值为y0)。此时，圆弧部分微元的受力分析式(1)、式(2)都成立，但切向加速度at需修改。设链条下端坐标y增加dy，前面的相关推理照搬，只不过势能减少量为λgdy(R+y)，由机械能守恒定律得到

(11)

对式(1)积分，注意边界条件T|β=π/2=λ(g-at)y(对垂直部分进行分析可得)，有

(12)

由此可得A点处的张力：

(13)

这正好是提供水平部分加速度的拉力(默认L>y+πR/2，即尚存水平部分)。张力式(12)导数为

(14)

故而张力仍然是先增大后减小。

为了得到微元所受的支持力dN，先由机械能守恒定律和初始条件v|y=y0=0得到速度：

(15)

于是，由式(2)和式(12)即得

(16)

其中为使表达式简短，并未代入式(11)和式(15)。该式的导数正比于at-2gsinβ，故dN必然先增加后减小，转折点是β=arcsin(at/2g)<π/2。dN的最小值仍只能出现在两端处。

然而，可具体计算出，A点的数值必大于B点的数值，故仅需考虑B点的支持力dN。把式(11)和式(15)代入，有

(17)

图5 初始完全覆盖圆弧时参数空间中的允许区域

3 桌边拐角为直角

值得一提的是桌边为直角(R=0)的情形。此时，上图中C点上移至L/2处，D点与E点重合。这意味着不论初始时下垂长度y0是多少，链条总会在水平部分完全滑完之前在桌角处开始飞离。

图6 桌边为直角时的受力分析

(18)

(对y方向列质点系动量定理，将发现Fy也是上面的表达式。)再考虑式(15)(令R=0)，可得

(19)

4 结语

总之，本文仔细研究了三种具有代表性的情形下桌边滑链的飞离问题。前两种都是把桌边顶角规则化为四分之一圆周，然后考虑了初始静止时链条完全水平和覆盖整个圆弧两种情形，第三种是回到通常的抽象为直角的模型。三者情形都给出了详细的讨论方案，可以转化为处理其他各种情形。讨论表明，链条下滑时完全可能飞起来脱离桌面，故需要小心。

最后，关于加速度奇点问题，文献[3]给出了正确的回答。本文中，图6的拐角处存在加速度奇点(即δ型无穷大[7])。而在图2、图3中的A点和B点(若有链条滑过)，加速度也值得一提：它们不是奇点，而是弱一些的突变点(第一类间断点)。