关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法

李志民

1 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。

判断直线与圆的位置关系常见的有三种方法：

判别式             相交

1.1代数法：         相切

Δ=b2-4ac             相离

1.2 几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径

r的大小关系：dr相离

（三）點与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.此法适用于动直线问题。

2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法

2.1 几何方法

运用弦心距（即圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。

2.2 代数方法

一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出;

二是运用韦达定理及弦长公式

|AB|=         |xA-xB|=

说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法。

3 求过点P（x0，y0）的圆x2+y2=r2的切线方程

3.1 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上， 则以P为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=r2

3.2 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解。

说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况.

4 例题选讲：

例1. 已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12。

（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点;

（2）求直线l被圆C截得的最短弦长。

（1）证明 由

消去y得（k2+1）x2-（2-4k）x-7=0，因为Δ=（4k-2）2+28（k2+1）>0，

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

（2）解 设直线与圆交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，

则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1-x2|=2=2 ，

令t=，则tk2-4k+（t-3）=0，当t=0时，k=-，当t≠0时，因为k∈R，

所以Δ=16-4t（t-3）≥0，解得-1≤t≤4，且t≠0，

故t=的最大值为4，此时|AB|最小为2。

例2. 已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m- 24=0（m∈R）。

（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上;

（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、 相离;

（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线 被各圆截得的弦长相等。

（1）证明  配方得：（x-3m）2+[y-（m-1）]2=25，

设圆心为（x，y）， 消去m得x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上。

（2）解 设与l平……