关于拓扑线性空间的定义

何微

拓扑线性空间是一类其线性结构与最一般的拓扑结构有机结合起来的集合。有关拓扑线性拓扑空间的研究这种拓扑代数结构以及把它们应用于分析问题的方法。拓扑线性空间理论作为泛函分析学科的一个分支产生于20世纪40--50年代。在这段时期以前，人们集中的研究了度量空间上的类似结构，这主要是Hilbert空间和Bananch空间以及这些空间的算子。从Hilbert空间和Bananch空间的研究转到拓扑线性空间的研究泛函分析发展史上的饿里程碑式的发展。无论如何，拓扑线性空间至今仍然是现代数学乃至自然科学中与之有关的各种问题和理论讨论或阐述的最广泛的框架。

同时拓扑线性空间又称拓扑向量空间，它是具有拓扑结构的线性空间，赋范线性空间概念的推广。泛函分析早期所研究的空间大都是赋范线性的。但到了30年代初，人们已经充分地认识到，无论从巴拿赫空间理论本身，還是算子代数的研究，都必须引进一般的，不只是序列收敛的弱拓扑。那时已经把巴拿赫空间的一些基本结果推广到完备的、拟赋范的线性空间上去。其后，分布理论的出现，又提出一批新空间如D空间、φ空间等等。这样大量的重要空间就不再是赋范线性的了，于是有必要在它们的基础上，建立起局部凸拓扑线性空间理论。从而开创了新的研究领域，也使泛函分析旧有的理论得到进一步发展。

本文主要对拓扑线性空间的定义做些介绍和讨论。

1 基本定义