探求2020年美国数学邀请赛AIME几何压轴题

美国数学邀请赛AIME是American Invitational Math Exam 的簡称，该项比赛在美国认可度极高，是申请美国大学本科的一项利器，针对初高中学生举办的AMC（American Mathematics Competitions）比赛，只有成绩在前5%的参赛学生才有资格继续参加AIME比赛，该赛每年考两轮，每轮比赛时长3个小时，共15道题，所有答案都是0到1000内的整数，必须笔算完成，不允许使用计算器.以下本文将展开的是今年3月11日刚刚举行的第一轮比赛的最后第15题的分步探求过程，笔者愿和大家一起分享其中蕴含的几何推理的数学之美.

点评结语 前面三个步骤根据题意应用一些平面几何的基本定理求出相应线段长度，特别是第一步证明了两个三角形的外接圆半径相等很关键，事实上也得出了一个重要结论：任意三角形的外接圆与其垂心和两个顶点组成三角形的外接圆，两圆半径必相等.有了前面的铺垫，万事俱备只欠东风，如何建立外接圆半径与边长的等量关系是至关重要的，步骤四与步骤五事实上分别从解析几何和平面几何的不同角度为解决问题提供了两种不同方法，思索良久、来之不易，这恰是应用逻辑推理解决几何问题的迷人之处，不禁让人感叹：数学真的很美妙！

作者简介 龚新平（1977—），男，2000年7月毕业于上海市华东师范大学数学系，同年任职于上海市育才中学至今，中学数学高级教师，学科带头人，获上海市静安区“教育园丁”称号，发表教育教学论文40余篇.