幂指函数的若干问题研究

杨方圆 韩彬玲

摘要：本文利用对幂指函数的性质进行了探讨，总结得出了幂指函数的三种求极限的方法，四种求导数的方法以及幂指函数的积分定理。

关键词：幂指函数;极限;微分;积分

一、幂指函数的求极限问题

由于，因此有，假设极限存在。那么求解就能转化为求.

若，此时幂指函数的极限类型为确定式，有，其极限求解较为简单，不做过多探讨，本文主要研究00型、∞0型和1∞型三种不确定式极限的求解问题。

（一）等价无穷小代换定理

1.幂指函数00的型极限

定义1.1设f（x）和g（x）在U0（x0）上分别有定义，f（x）、g（x）均是变化过程x→x0时的无穷小量，f（x）>0，即可将称为00型极限。

引理1.1设f（x）、g（x）、f1（x）、g1（x）在U0（x0）上分别有定义，且均是变化过程x→x0时的无穷小量，其中f（x）>0、f1（x）>0。如果f（x）～f1（x）、g（x）～g1（x），并且，则。

1.1幂指函数的∞0型极限

定义1.2设f（x）和g（x）在U0（x0）上分别有定义，f（x）、g（x）均是变化过程x→x0时的无穷小量，且有f（x）>0，即∞0可将型极限的幂指函数表示成。

引理1.2设f（x）、g（x）、f1（x）、g1（x）在U0（x0）上有定义，且均是变化过程x→x0时无穷小量，其中f（x）>0、f1（x）>0.如果有f（x）～f1（x）、g（x）～g1（x），且，则有。

1.2幂指函数1∞型极限

定义1.3设f（x）和g（x）在U0（x0）上分别有定义，f（x）、g（x）均是变化过程x→x0时的无穷小量，且有f（x）>0，即可将1∞型极限的幂指函数表示成，此时g（x）≠0。

引理1.3设f（x）、g（x）、f1（x）、g1（x）在U0（x0）上分别有定义，且均是变化过程x→x0时的无穷小量，，其中f（x）>0、f1（x）>0、g（x）≠0、g1（x）≠0。如果f（x）～f1（x）、g（x）～g1（x），且，则有。

2.洛必達法则

在幂指函数不确定式求极限中，可以将幂指函数化为以e为底的指数函数，利用洛必达法则求其指数极限，进而得出幂指函数极限，有：

（Ⅰ）00型：如果，

则有。

（Ⅱ）∞0型：如果，

则有。

（Ⅲ）1∞型：如果，

则有。

3.幂指函数型重要极限

（1）（其中）;

（2）（其中）。

4.幂指函数的极限举例

例1.1求极限。

解：该求极限问题为幂指函数的00型不确定式极限。