关于两条动线段长度之比是定值问题的思考

云南省玉溪第一中学(653100) 李富春

两条动线段长之比为定值问题是解析几何中比较重要的问题,也是学生的难点.究其原因是因为两条动线段长之比为定值问题,在高考中常出现在解析几何大题的第二问,放在这个位置对绝大多数学生产生了很强的心理影响.[1]其实解析几何中两条动线段长之比为定值问题,都是下面四种数学模型之一,只要灵活选用,解析几何中两条动线段长之比为定值问题就能迎刃而解.

1 数学模型

模型1设两条动线段长之比为λ,转化为向量的坐标运算,通过代换求出λ值,问题得解.

模型2用动直线的斜率k分别表示两条动线段长,通过转化、化归,约去变量k,问题得解.

模型3用圆锥曲线上的动点(x0,y0)的横坐标x0或纵坐标y0分别表示两条动线段长,通过转化、化归,约去变量x0或y0,问题得解.

模型4用动直线的斜率k和纵截距b或横截距a分别表示两条动线段长,通过转化、化归,约去变量k,b或a,问题得解.

2 模型运用

2.1 模型1 运用

若所求两条动线段长之比中的两条动线段的端点共线,则可选用模型1 求解.

例1(2015年高考山东卷理科第20 题)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3 为半径的圆与以F2为圆心以1 为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(ii)求∆ABQ面积的最大值.[3]

解(Ⅰ)略.椭圆C的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的方程为

(ii)略.∆ABQ面积的最大值为

2.2 模型2 运用

若所求两条动线段长之比中的两条动线段所在的直线的斜率都可以用k来表示,则可选用模型2 求解.

例2已知直线l与椭圆交于不同的两点A,B.

(1)若线段AB的中点为求直线l的方程;

(2)若l的斜率为k,且l过椭圆C的左焦点F,AB的垂直平分线与x轴交于点N,求证:为定值.

解(1)略.直线l的方程为即4x+6y−7=0.

(2)由题知F(−2,0),故可设直线l 的方程为y=k(x+2).

当直线l的斜率k=0 时,此时

直线l的斜率k不为0 时,联立可得(1+3k2)x2+12k2x+12k2−6=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理知x1+x2=则

设AB的中点为M(x0,y0),则又故直线MN的方程为令y=0,得则所以综上所述,为定值.

2.3 模型3 运用

若所求两条动线段长之比中的两条动线段长,都可用圆锥曲线上的动点(x0,y0)的横坐标x0或纵坐标y0来表示,则可选用模型3 求解.

例3(2014年高考江西卷理科第20 题)如图,已知双曲线1(a＞0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF ⊥x轴,AB ⊥OB,BF//OA(O为坐标原点).

(1)求双曲线C的方程;

(2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线y0y=1 与直线AF相交于点M,与直线相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.[3]

解(1)略.双曲线C的方程为

因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为直线l与直线的交点为,则

因为P(x0,y0)是C上一点,则代入上式得

2.4 模型4 运用

若所求两条动线段长之比中的两条动线段长,都可用两条动线段所在的直线的斜率k和纵截距b或横截距a来表示,则可选用模型4 求解.

例4已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10,椭圆C经过点

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线l1,直线l1上存在M,N两点满足OM ⊥ON,求∆OMN面积的最小值;

(3)若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于定点M,线段AB的垂直平分线交x轴于点N,且为定值,求点M的坐标.

解(1)略.椭圆C的标准方程为

(2)略.∆OMN面积的最小值为9.

(3)设直线l的方程为y=kx+m,则点联立消去y得(25k2+16)x2+50kmx+25m2−400=0,所以

令y=0,得N点的坐标为则所以

综上可见,在解决解析几何中两条动线段长之比是定值问题时,只需要同学们多加练习,熟练掌握韦达定理的有关运算,熟练掌握多字母的代数运算;只需要同学们从本文中的四种数学模型中灵活选用,就可以突破解析几何中两条动线段长之比是定值这一难点.

3 一点说明

上述四种数学模型,仍适用于探究解析几何中两条动线段长的和或差或积是否为定值的问题,亦适用于探究解析几何中的两个动向量的数量积是否为定值的问题.举例说明略,留给感兴趣的读者朋友去探究.