奇异摄动问题在修正的Bakhvalov-Shishkin网格上的混合差分格式

郑权，刘颖，刘忠礼

（1.北方工业大学理学院，北京100144； 2.北京联合大学生物化学工程学院，北京 100023）

奇异摄动问题在诸多领域应用广泛，例如河网水质问题的建模、对流热传输问题、半导体器件模型的漂移扩散方程以及金融模型等。奇异摄动问题，即一个很小的摄动参数将导致其真解在边界层区域剧烈振荡，使得经典的差分方法无法得到满意的结果。因此，奇异摄动问题的数值求解成了热门研究课题[1-9]。

本文将考虑以下奇异摄动对流扩散方程的两点边值问题：

其中，ε是一个很小的摄动参数且 0＜ε≪ 1，A和B是给定的常数，b(x)，c(x)和f(x)是充分光滑的函数，且 满足 0＜β＜b(x)＜β*，0 ≤c(x)＜γ*， 其中β，β*和γ*是常数。这些条件使得方程(1)存在唯一解u(x)， 且解在x=1 处存在一个边界层[1]。

对奇异摄动问题层适应的数值解法研究已取得一系列重要进展。对于线性奇异摄动问题(1)，ROOS 等[2]证实了简单迎风格式在Bakhvalov-Shishkin 网格上达到一阶收敛，高于在Shishkin 网格上的近一阶收敛，并列出了其他几种网格函数，如多项 式 Shishkin 网格和 Vulanović改进的Shishkin 网格等，并给出了简单迎风格式的相应收敛阶数。STYNES 等[3]研究了c(x)≡0 时中点迎风差分格式在任意网格上的误差估计，进一步研究了在Shishkin 网格上的一致收敛性，在粗网格上得到二阶收敛，在细网格上得到近一阶收敛，表明中点迎风格式在Shishkin 网格上的收敛阶数优于简单迎风格式；提出的在粗网格上利用中点迎风格式和在细网格上利用中心差分格式的混合差分格式方法，在粗网格和细网格上分别达到了二阶和近二阶收敛。梁克维等[4]研究了c(x)≡0 时方程的中点迎风格式在Bakhvalov-Shishkin 网格上的一致收敛性，得到了一阶收敛的误差估计。ZHENG 等[5]研究了中点迎风格式在Bakhvalov-Shishkin 网格上的一致收敛性，将粗网格上的一阶收敛提高到二阶收敛。ZHENG 等[6]还研究了带权的混合差分格式在Bakhvalov-Shishkin 网格上求解拟线性奇异摄动方程以及估算导数的误差，得到的解和导数的误差都是二阶的。此外，也有将层适应网格上的有限差分方法用于求解抛物型奇异摄动问题[7-8]以及椭圆型奇异摄动问题[9]等。

本文构造修正的Bakhvalov-Shishkin 网格，建立新混合差分格式求解问题(1)。第1 节证明关于奇异摄动问题的最大值原理并给出解的性质；第2 节研究混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上的一致收敛性；第3 节用数值算例验证理论分析结果。

1 最大值原理以及解的性质

引理1假定u(x)是满足u(0)≥0 和u(1)≥0的充分光滑的函数，若当x∈(0，1)时，Lu(x)＞ 0，则对于x∈[0，1]，有u(x)≥ 0。

证明令x*满足假 设u(x*)＜0，显然x*∉{0，1}，因此

且

Lu(x*)=-εu″(x*)+b(x*)u'(x*)+c(x*)u(x*)≤ 0，与已知条件矛盾。

引理1 得证。

引理2（连续情形的最大值原理） 假定u(x)是满足u(0)≥0 和u(1)≥0 的充分光滑的函数，若当x∈(0，1) 时 ，Lu(x)≥ 0，则 对 于x∈[0，1]，有u(x)≥ 0。

证明对于 ∀δ＞ 0，令e-ax)，其中a为正常数，则有

且

由引理1，对于所有x∈[0，1]，有

令δ→ 0，则得引理 2。

证毕！

引理2 给出了问题(1)的连续最大值原理，表明问题(1)的解具有唯一性。

注本文补充了连续最大值原理的证明，对文献[10]中的证明做了修正。

引理3[1]对于任意正整数q， 方程的解u(x)在[0，1]上可表示为

其中光滑部分S满足

边界层部分E满足

q的取值取决于函数b(x)，c(x)和f(x)的 光 滑程度。

2 混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上的一致收敛性

2.1 网格函数

为了使中心差分格式在经典的Bakhvalov-Shishkin 网格[2，4-5]的边界处得到较高的截断误差，在Bakhvalov-Shishkin 网格的转折点的基础上，选取另一转折参数τ2=1-x3N/4=其中x3N/4是 Bakhvalov-Shishkin 网 格 上的i= 3N4 的一个结点，将区间 [1-τ2，1]均分成N4 个子区间。方便起见，仍将网格函数记为xi，则修正的Bakhvalov-Shishkin 网格如下：

引 理 4令hi=xi-xi-1， 则 有N-1≤hi＜。

2.2 混合差分格式

考虑在区间[0，1-τ2]上使用中点迎风格式以及在区间(1-τ2，1]上使用中心差分格式的混合差分格式：

即

2.3 一致收敛性

引理5（离散比较原理） 假定且是网格函数且满足v0≤w0，vN≤wN和LN vi≤LN wi，i=1，2，…，N-1， 那么，对任意的i均有vi≤wi。

证明在引理5 的条件下，LN系数矩阵是一个(N-1)×(N-1)阶对角占优矩阵，且对角线元素均为正、次对角线元素均非正，是一个不可约的M矩阵，因此算子LN满足离散比较原理。

引理5 得证。

于是差分格式(3)在网格(2)上有唯一解，引理5中的函数wi称为函数vi的障碍函数。

引理 6定义网格函数Z0=1，Zi=那 么 ，对 于i=1，2，…，N-1， 有

证明显然有且D-Zi=因此

进而，注意到c(x)≥ 0 和b(x)＞β＞ 0， 由式(3)，有

引理6 得证。

引理7假设u(x)是定义在[0，1]上的充分光滑的函数，在修正的Bahkvalov-Shishkin 网格上，对于求解问题(1)和混合差分格式(3)的截断误差，存在常数C，使得

证 明当i=1，2，…，3N4 时 ，由 式 (1) 和式(3)，有

其中，

使用带有积分型余项的泰勒展开式，有

当i= 3N4 +1，3N4 +2，…，N-1 时 ，由式(1)和式(3)，有

使用带有积分型余项的泰勒展开式，有

引理7 得证。

引理8假定则在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上，对于方程(1)和混合差分格式(3)的解的光滑部分，存在常数C，使得

证明由引理7 和引理3 可得

令wi=C0N-1(ε+N-1)xi，i=0，1，…，N， 其中常数C0足够大。那么

引理8 得证。

引理9假定在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上，对于方程(1)和混合差分格式(3)的解的边界层部分，存在常数C，使得

证明对所有的t≥0，有et≥1+t。回顾引理6 中的函数Zi， 则有

由引理 3 和式(5)，有

令Yi=C0Zi ZN，i=0，1，…，N， 其中C0为足够大的常数。由引理6 可得

由式(5)和引理 3 可得

因此，由引理5 可知，

结合式(6)和式(7)，有

由引理4，有

再由式(8)，可得引理9。

引理9 得证。

引理10假定在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上，对于方程(1)和混合差分格式(3)的解的边界层部分，存在常数C，使得

证明当i=N2 +1，N/2+2，…，3N4 时，由引理7 的证明，易得

因此，由式(9)、引理 3、式(2)、式(5)以及引理 4，有

当i= 3N4 +1，3N/4+2，…，N时，由引理 7、引理 3、引理 4 和式(5)，有

其中C0为足够大的常数。由引理6 可得

当i= 3N4 时，

因此，

由于c(x)≥ 0，b(x)＞β＞ 0，则有

显 然 有因此，由引理 5 可知，φi是的障碍函数。

引理10 得证。

定理1假定混合差分格式(3)在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格(2)上求解问题(1)，满足

证明由式(4)以及引理8～引理10 即可证得。

3 数值算例

例1考虑奇异摄动问题：

表1 为中点迎风格式在Bakhvalov-Shishkin 网格上和混合差分格式在Shishkin 网格上的数值结果，其中，用计算误差精度，用计算收敛阶数，计算收敛常数 。对于i＞N2，混合差分格式在Shishkin 网格上、中点迎风格式在Vulanović 改进的Shishkin 网格上以及新混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上的误差精度、收敛阶数和收敛常数分别采用相应的公式计算。

表1 ε=10-10时2 种有限差分格式［3］在 Bakhvalov-Shishkin 和 Shishkin 网格上的数值结果Table 1 The numerical results of two schemes［3］ on the Bakhvalov-Shishkin and Shishkin meshes with ε=10-10

表2为中点迎风格式在Vulanović 改 进 的Shishkin 网格上的数值结果。表3 为新混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上的数值结果。定理 1 的式（10）得到证实。 对比表1～表3 中的数值结果知，新混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上边界层 (x3N4，1]处得到的收敛阶数和误差精度要优于中点迎风格式在Bakhvalov-Shishkin 网格上、混合差分格式在Shishkin 网格上以及中点迎风格式在 Vulanović 改进的Shishkin 网格上的收敛阶数和误差精度。

表2 ε=10-10 时中点迎风格式在 Vulanović 改进的 Shishkin 网格［2］上的数值结果Table 2 The numerical results of the midpoint upwind scheme on theVulanović’s improved Shishkin mesh with ε=10-10

表3 ε=10-6 时新混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上的数值结果Table 3 The numerical results of the new hybrid scheme on the modified Bakhvalov-Shishkin mesh with ε=10-6

图1 在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上新混合差分格式和3 种方法在区间[ xN 2，1]上的误差Fig.1 The errors of the new hybrid scheme on the modified Bakhvalov-Shishkin mesh and other three methods on[ xN 2，1]

图1 表明，新混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上边界层处的误差精度优于中点迎风格式在Bakhvalov-Shishkin 网格上、混合差分格式在Shishkin 网格上的误差精度以及中点迎风格式在Vulanović 改进的Shishkin 网格上的误差精度。实际上，在求解区间[0，1]，新混合差分格式的最大误差均较其他3 种方法小。

例2考虑奇异摄动问题：

其中，

数值结果见表4。

表4 中的数值结果同样证实定理1 正确。

表4 ε=10-10 时新混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上的数值结果Table 4 The numerical results of the new hybrid scheme on the modified Bakhvalov-Shishkin mesh with ε=10-10

4 结 论

证明了奇异摄动问题的最大值原理，并研究了混合差分格式在修正的Bakhvalov-Shishkin 网格上求解一般奇异摄动问题。在边界层(x3N4，1]处，此方法取得二阶收敛，其误差精度均好于中点迎风格式在Bakhvalov-Shishkin 网格上、混合差分格式在Shishkin 网格上以及中点迎风格式在 Vulanović 改进的Shishkin 网格上的误差精度。尽管此方法整体上仍为一阶，但因在边界层达到了二阶收敛，因此，实际上取得了较好的整体误差精度。