小波基最优化在齿轮箱振动信号中的应用分析

张 奥，姜 宏，章翔峰

（新疆大学机械工程学院，新疆 乌鲁木齐 830047）

1 引言

旋转机械是工业上应用较为广泛的一些机械设备，其中齿轮传动是机械设备中最常见的传动方式之一。随着科学技术的发展，针对齿轮的诊断方法已经取得了丰硕的研究成果，其中具有丰富小波基的小波变换（Wavelet Transform，WT）是一种非常经典的时频局部化分析方法，它不仅非常适用于非平稳的齿轮信号，而且能有效提高齿轮振动信号的信噪比及频率特征的识别，所以小波变换从发展至今在故障诊断领域中一直受到广大研究学者的青睐[1-2]。

传统小波变换方案对普通信号进行除噪可以较完整的保存有用信号中的频率分量，且能够实现对象信号的多尺度细化分析[3]，将信号聚焦到所需要的特征信号上，对该信号中的细节信息进行检测，并实现故障齿轮的准确判定。但因用于小波变换的小波基种类多样，且各小波基表现的特性有所不同，对于振动信号复杂的齿轮箱，其运行状态信息基本蕴含在低频信号[4]（即去噪后的齿轮箱信号）中，而表征齿轮箱故障状态的细节信息则蕴含于高频信号。因此，针对复杂的齿轮系统选择最优小波基更好的获取振动特征信号[5]就显得尤为重要。

在研究过程中通过选取适用处理齿轮振动信号的小波基，采用对复杂齿轮箱振动信号有良好降噪效果的Stein 无偏似然估计阈值[6]，利用小波变换将分解后的信号重构出高频和低频部分，采用均方根差作为除噪效果的评价标准对小波基进行优化，并利用该小波基进行低频信号的降噪和高频信号细节特征分析，经实验验证，最优小波基不仅提高了齿轮箱低频信号的信噪比及表征其运行状态频率的准确率，同时也对高频信号细节特征提取效果的提高具有明显的优势，有效提高了对齿轮箱故障的诊断能力。

2 小波理论及降噪原理

2.1 小波理论[2]

小波变换继承STFT 对信号进行局部特征分析的特性，并采用随时间变化可缩放的小波基函数（Haar 小波、db 系列小波、Morlet 小波、Coiflet 系列小波、Mexican Hat 小波等）窗口，经过高频或低频滤波对低频信号进行多层分解，如图1、图2 所示（其中A 表示低频，D 表示高频）。获取故障信号的变化趋势及其变化特征，弥补了STFT 局部信号分辨率低，窗函数局限性大的问题。

图1 小波分解原理Fig.1 The Principle of Wavelet Decomposition

图2 小波分解流程图Fig.2 Flow Chart of Wavelet Decomposition

对于小波变换，给定一个基本函数，令：

其中 a，b 均为常数且 a>0。从式（1）可知，ψa，b（t）是基本函数ψ（t）先进行平行移动而后伸缩得到的。若a 和b 的值持续发生变化，便能得到一族函数 ψa，b（t）。此处将 x（t）定为平方可积的信号，即x（t）∈L2（R），那么x（t）的小波变换定义为：

根据需求合理调整小波基函数a，b 参数值，不仅能有效改善小波变换窗口的自适应性，同时也极大提高了低频局部频域和高频局部时域特征的分辨率。正是这一特性，为齿轮箱振动特征信号的准确识别提供了保障。

2.2 小波降噪原理

若对象信号f（t）经过噪声污染后成为信号S（t），根据这一变化过程，则该信号的噪声污染基本模型便能建立成[7]：

式中：σ—噪声强度；

r（t）—噪声。

通常情况下，对信号进行除噪过程中，应确保除噪前后的信号的光滑性应该基本保持不变，抑制σr（t）将S（t）恢复到尽可能近似f（t）的状态，这也就是我们想要通过小波变换来达到的最佳理想效果。然而由于小波基的选择不当，往往会严重影响除噪后信号的光滑性，最终导致故障特征湮没于噪声中无法诊断。为了衡量降噪前后信号的相似程度，评价小波基的选择是否得当，我们采用了两个标准：

（1）信号S（i）除噪前后均方根误差的表达式为：

（2）采用常规衡量标准，即信号S（i）除噪后的信噪比，其表达式为：

式中：S（i）—原信号；

S′（i）—除噪后的信号。

3 小波基优化理论

由于小波基的多样性在于不同小波基表现出来的特性有所不同，因此，对于不同的分析对象，只有根据其特性选择合适的小波基才能获得所需特征信息。对齿轮振动信号进行小波变换时，需要提高信号的信噪比以及高频细节，则具有正交性、对称性、紧支性和平滑性的小波基就成为首选对象。通过对Haar 小波、db系列小波、sym 小波、Coiflet 小波等常用小波的特性进行对比分析，并考虑了连续小波变换在信号去噪过程中的冗余变换会增加其结果分析的难度。因此，笔者选用了三种常见的离散小波系列，即：db 小波系列，Sym 小波系列和Coiflet 小波系列。

4 小波基除噪效果的对比分析

通过小波变换对加入σ 强度高斯白噪声的齿轮箱仿真信号进行处理，并将重构的低频信号与原信号的均方根误差以及除噪后信号的信噪比进行对比分析，选取最优小波基，其结果，如表1所示。

齿轮箱实际振动信号仿真模型为[8]：

由于信号的信噪比越高，原始信号与去噪后信号的均方根误差越小，则消噪后的信号越接近原始信号，去噪效果就越好。通过分析图3 去噪效果曲线，可以观察出，在采用Stein 无偏似然估计阈值的条件下，coif 5 小波基在小波变换中具有明显的去噪优势。通过采用coif5 小波基对齿轮箱仿真信号进行小波变换，很大程度上降低了噪声干扰。

表1 不同小波基的去噪效果对比Tab.1 Comparison of De-Noising Effects of Different Wavelet Bases

表2 变频器显示转速为600r/min 时各转轴的相关参数Tab.2 The Relevant Parameters of the Rotating Shaft when the Frequency Converter Shows the Speed in 600r/min

图3 不同小波基的去噪效果曲线Fig.3 The Denoising Effect Curve of Different Small Wave Bases

5 实验验证

采用了北京工业大学齿轮箱实验数据，其齿轮箱位置，如图4 所示。其中齿轮箱内由两对齿轮啮合构成由低速至高速的二级加速装置，其中低速轴上的Z1齿数为80，中间轴上的Z2、的齿数分别为19、80，高速轴上的Z3齿数为17，在高速轴上的齿轮设有断齿故障，传感器所采集的数据为高速轴径向方向的加速度。采样频率为10000Hz，变频器显示转速600r/min，齿轮的故障特征频率为4.95Hz，其各转轴相关参数，如表2 所示。

图4 试验台系统图Fig.4 System Diagram of Test Platform

采用最优小波基coif5 对断齿齿轮箱振动信号进行小波变换，重构出低频信号和高频信号，其中，重构的低频信号有效降低了齿轮箱噪声信号，如图5 所示。未经小波去噪处理的齿轮箱振动信号，如图6（a）所示。频谱图中齿轮的故障频率为6.612Hz，啮频一倍频、二倍频、三倍频分别为112.8Hz、225.6Hz、338.4Hz，与实际的转频、啮频值不相符；而经过以coif5 为小波基的小波除噪后的低频信号的频谱图，如图6（b）中的高速轴的故障频率为4.985Hz，啮频一倍频、二倍频、三倍频分别为 84.59Hz、169.2Hz、253.8 Hz，与实际的转频、啮频以及啮频的倍频基本符合，不仅使齿轮箱振动信号的信噪比得到显著提高，也表明低频信号中蕴含丰富的齿轮振动信号，在小波基coif5 下进行小波变换，能精确表征齿轮箱的运行状态信息。

图5 去噪前后断齿齿轮箱振动信号时域波形Fig.5 The Waveform of Gear Broken Gearbox Before and After Denoising

图6 去噪前后齿轮箱振动信号幅值谱Fig.6 The Amplitude Spectrum of Gearbox Before and After Denoising

图7 齿轮箱高频振动信号包络谱Fig.7 High Frequency Envelope Spectruml of Gearbox

齿轮箱在运行过程中，各零部件的特征运动频率对齿轮振动频率产生的调制现象，会在齿轮啮频和各阶固有频率及其谐波周围产生边频带，这些边频带中包含着丰富的齿轮状态信息[9-10]，可以为齿轮箱故障源的寻找提供依据。为了更好的获取这些细节信息，采用Hilbert 变化对高频振动信号进行调制处理，对图7（a）中正常齿轮箱高频信号包络谱分析可知，经Hilbert 调制后的正常齿轮箱振动信号，其转频和啮频的倍频特征清晰明了，且转频周边存在少许4.993Hz 为间隔的边频带，啮频倍频周边则没有任何边频带，该频带正符合正常的齿轮振动信号特征。而图7（b）中断齿高频振动信号包络谱，转频和啮频倍频不仅幅值有明显增高，而且在这些特征周边分布着4.985Hz 间隔的边频带，边频带宽且高，该故障信号细节特征刚好符合断齿频谱边频带特征。

6 结论

通过以上分析结果可知，选取最优小波基coif5 进行小波变换，其重构的低频信号有效提高了齿轮箱振动信号的信噪比及表征运行状态的频率特征的准确率。而重构的高频信号经过Hilbert 调制，能够清楚地看出齿轮断齿前后的转频及啮频的倍频周边的边频带的变化，为齿轮箱故障的诊断提供了技术保障。经验证，小波基最优化的应用不仅提高了小波变换处理信号的性能，也为其广泛的工程应用提供了理论依据。