双腔光力学系统的稳态纠缠

杨智博， 明莹， 刘洪雨

( 延边大学 理学院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

研究量子纠缠对实现量子信息处理和量子通讯具有重要作用.目前，量子纠缠在人造量子比特[1]、量子蒸馏[2]、双原子系综[3]、腔光力学系统[4]等方面的研究虽已取得一定的进展，但在常温下实验制备和操纵量子纠缠仍未得到明显进展[5-6]，仅在低温环境下得以实现[7].2014年Chen等[8]研究发现，将一个周期性调节的泵浦激光器作为驱动源能够显著增强纠缠，但实验过程中需要精准把控激光器的频率啁啾，并且该实验对环境的噪声很敏感.Lü X Y等[9]研究发现，将一个光学参量放大器(OPA)放置在腔中，能够显著增强光力系统的有效耦合.基于此现象，本文在两个耦合的光力腔中放置两个光学参量放大器系统，以此探讨该状况下OPA对腔光力系统中纠缠的影响.

1 系统模型与哈密顿

首先建立由两个相同的法布里-珀罗腔组成的物理模型，该模型包含1个固定腔镜和1个可移动腔镜，其中固定腔镜为部分透射，可移动腔镜为全反射.每个腔中均放置1个OPA，并由相同的泵浦激光驱动.每个腔中只有1个共振模，并且该腔模通过1个光子跃迁的相互作用实现耦合，如图1所示.

图1中，两束驱动光的频率为ωl， 振幅为E； 腔模的频率为ωc； 可移动镜可看作为量子力学的谐振子，其质量为m， 频率为ωm， 阻尼率为γm.在腔-光子诱导的辐射压作用下，可移动的腔镜会使振子在平衡位置附近振动.此外，对于简并的OPA，本文假设频率为2ωl的泵浦场与OPA相互作用，其中OPA的增益系数为Λ， OPA与泵浦场的相位差为θ.为了方便计算，设ħ=1， 则系统总的哈密顿为

(1)

(2)

式中Δ0是腔场频率ωc与激光频率ωl的频率失谐,即Δ0=ωc-ωl.

分析双腔光力系统时，需将腔的衰减和力学耗散考虑在内.根据海森堡运动方程，系统的耗散动力学可描述成如下一组非线性量子朗之万方程组[10]：

(3)

(4)

〈ξ1(t)〉=〈ξ2(t)〉=0,

(5)

其中δi j是克尔delta函数, i,j=1,2.假设机械品质因子Qm=ωm/γm≫1， 则噪声的关联函数可以改写为

〈ξj(t)ξj(t′)+ξj(t′)ξj(t)〉/2=γm(2nm+1)δ(t-t′),

(6)

在强激光驱动条件下，海森堡算符可写成平均值和量子涨落算符的形式(A=As+δA, A=(p,q,a1,a2))， 且在稳态条件(〈δA〉=0)下可得如下稳态平均值：

(7)

其中Δ为腔场共振的有效输入激光失谐，Δ=Δ0-g qs.量子涨落算符的线性化朗之万方程为：

(8)

2 两个腔模间的纠缠测量

dU(t)/dt=MU(t)+N(t).

(9)

(10)

上式中W=exp(Mt),Φk l(t-t′)=〈Nk(t)Nl(t′)+Nl(t′)Nk(t)〉/2为稳态噪声关联函数的矩阵.当腔场的质量因子Qm=ωm/γm>>1时，量子布朗噪声可表示成δ函数：

Φk l(t-t′)=Dk lδ(t-t′)=

diag[0,γm(2nm+1),κ(2na+1),κ(2na+1),κ(2na+1),κ(2na+1)]×δ(t-t′).

(11)

EN=max[0,-ln 2η-]，

3 数值分析和讨论

为在双腔光力系统中产生纠缠，本文选取如下数值模拟参数：驱动振幅E/ωm=2×104，腔损耗κ/ωm=0.01, 振子损耗γm/ωm=10-3, 光学模的平均热激发数na=0, 机械振子的平均热激发数nm=0, 腔和振子的耦合强度g/ωm=4×10-3, 驱动光波长λ/ωm=20, 腔频和激光频率的失谐Δ/ωm=3.图2为腔场间纠缠度EN随OPA的相位θ和增益系数Λ的变化关系，其中深色区域代表非稳态区域.由图2可以看出：当参量增益Λ的数值较小时，力学系统达不到稳定状态；明显的稳态力学纠缠仅存在于0.95>Λ/ωm>0.6的范围内，且相位θ需在0.1π>θ>0.65 π范围内.由图2同时还可以看出，当相位θ取适当的值时(如θ=π/2)，系统产生的力学纠缠随着OPA增益系数的不断增强会出现先增大后减小的现象.这表明，通过选取适当的增益系数，可较为容易地观察到移动镜子与腔1间的宏观纠缠现象.

图3为纠缠度EN与腔-振子耦合强度g的变化关系.图3中Λ/ωm=2.1，θ=0.5π， 其他参数与图2中的参数相同.由图3可以看出，当g在0.000 2～0.000 5范围时，纠缠度EN随g的增大而显著增强；当g大于0.000 5时，力学纠缠度EN的变化趋于平缓.

图4为纠缠度EN与腔场失谐Δ的变化关系.图4中g=2×10-4ωm，θ=0.5 π， 其他参数与图2中的参数相同.由图4可以看出，在有效失谐Δ范围内，腔1与移动镜子之间均存在纠缠，且纠缠随着失谐的增加而减小.由此可以看出，在双腔光力系统中引入OPA可增强腔与移动镜子之的纠缠效应.

4 结论

本文在放置光学参量放大器的腔光力系统中通过选取适合的参数值模拟了可移动镜子与腔纠缠的情况，并使用负对数值对纠缠效果进行了度量.研究表明，调节参量放大器的增益系数和腔场的有效失谐可有效增强腔场与可移动镜子的纠缠效果，从而减弱热噪声对纠缠带来的影响.本文方案可对量子信息处理和超高精度测量等提供理论参考.