函数思想在数列中的应用

戴耀艺

摘 要：数列是一种特殊的函数，既有自己本身的特性，也具有函数的性质，因此在教学和解题过程中充分挖掘数列的函数本质，借助函数性质解决数列问题，感悟函数思想在解决数列问题中的作用。

关键词：函数;函数思想;数列

数列与函数相结合是高考的热点，有时也是难点。函数思想是数学思想的重要组成部分，也是中学数学中最基本、最重要的数学思想之一。所谓函数思想，就是用运动变化的观点，分析和研究實际问题或数学问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究（一般借助函数的性质、图象等），从而更快更好地解决问题。从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。从这个意义上看，它丰富了学生所学的函数概念范围，有些数列的问题可用函数思想来解决。引导学生以函数的概念、图像、相关性质为纽带，构建函数与数列的桥梁，揭示两者间的内在联系，能有效的解决数列问题。

图象是函数特征的直观呈现，借助函数图象来解决数学问题（以形助数）是我们在解题中经常采用的手段，也就是所谓的数形结合。这里将等差数列的通项公式、前n项和公式看做关于n的函数，利用函数对应的图象关系来解决问题，简化了运算。

没有给出数列的具体类型，可以通过数列的递推关系，写出数列的前几项，用不完全归纳法找到数列的规律，从而解决问题。但是需要由较强的推理归纳能力。所以仅仅利用数列的知识不容易解决，而如果我们从函数视角去考虑，借助函数的周期性，对数列会有一个新的更清晰认识。

数列的递推关系，也蕴含着函数本质。本题是转化为函数表示，变量是正整数集，比一般的实数集更简单。因此找到函数的周期性，在大大简化了解题过程的同时，很好地培养了学生的思维能力。

例3、判断数列的单调性。

点拨：构造，显然，显然在是增函数，所以数列是递增函数。

这里将通项公式转化为函数的形式，通过判断函数的单调性来确定数列的单调性，符合数列是一种特殊的函数的这一规定，在这里是一种演绎推理。函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，也就是说如果数列所对应的函数单调则该数列一定单调，但反之如果数列单调，所对应的函数不一定单调，关键的原因在于数列是一个定义域在正整数集N+（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的特殊函数，是一个离散的函数，在图像上表示的一些离散的点。

在教学过程中提倡学生学会积极主动、勇于探索的学习方法。学会构建函数，使用数学的函数思想解决数学问题是一个重点，也是一个难点，体现了学生在学习过程中的体验、思考与参与，培养学生的创新意识。在构建函数之后，往往需要利用函数的概念和性质来解决问题，而函数的基本性质包括了奇偶性、单调性、周期性，最值性零点等等，画出函数图像采用数学结合的方法解决问题。因此在数列教学过程中渗透函数思想，要结合已知特征进行等价转化，这样不仅可以进一步巩固之前学习过的函数知识，融会贯通，而且可以进一步拓宽学生解决数列问题的视野。

法二、直接考虑数列本身的结构特征。构造二次函数，把看成函数，它的定义域是，作为递增数列，对应的函数必然为递增函数，而且单调增区间为，此时抛物线的对称轴为，因为函数f（x）为离散函数，要函数单调递增，只需考虑动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧可以（如图），作为孤立的点，此时B点比A点高。于是，得λ>-3。

这几个例题的分析与解析，可以看出数列作为离散函数的典型，在高中数学中具有重要位置。借助函数来解决数列的最值问题，恒成立问题等，由于方法多、技巧性强，难度比较大。因此在数列的具体教学过程中，要重视函数思想的渗透，将函数的概念、图象、函数性质等融入数列的教学过程中，在数列知识与函数知识的交汇融合中，使学生的知识脉络不断优化与完善，进一步巩固函数知识和数列知识，同时也能使学生的思维能力得以发展与提高。在教学过程中，创设恰当的情境，让学生在情境中体会知识的形成过程，在感悟的过程中深刻领会当中蕴含的数学思想和方法，深刻理解用函数思想解决数列问题的本质。如果学生理解并掌握之后，往往能诱发知识的迁移，使学生产生举一反三、融会贯通的解决各种数列问题，提升学生的逻辑运算和推理能力，从而迅速有效的解决问题。