例谈解答几何体外接球问题的方法

谷凌云

有关几何体的外接球问题是近几年来高考的热点内容.解答这类问题，需要灵活运用几何体的性质，射影定理，球的体积公式、表面积公式等知识.下面，我们通过几个例题来探讨一下解答有关几何体外接球问題的方法.

例1.已知正三棱锥P—ABC的4个顶点在球O的球面上且PA= ，AB=2.求球O的半径.

解析：本题主要考查了正三棱锥的定义与性质以及正三棱锥外接球半径的求法. 一般地，若正棱锥底面外接圆的半径为r，高为P =h，其外接球的球心为O、半径为R，由正棱锥的性质可得O点在射线P 上，则 .我们可以利用该思路来解题.

解：如图1，分别取BC、AC的中点D、E，连接AD、BE交于  ，则 为正三角形ABC的外心，连接P .

P—ABC是正三棱锥，由正棱锥的性质和射影定理可得外接球的球心 O 在射线P 上，

AD= AB= ， A = ，令AO=R，O =|R- |，A = ，由勾股定理可得 = + ，  = + ， R= .

图1                               图2                         图3

例2.在三棱锥P-ABC中，已知PA 平面ABC， BAC= ，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为多少.

解析：本题主要考查了三棱锥的性质以及三棱锥外接球半径的求法.我们可以根据三棱锥的性质作出相应的辅助线，利用球的表面积计算公式来求得该球的表面积.

解：如图2，取BC的中点D，连接AD，延长AD到 ，使D =AD，过 作E  平面ABC于 ， 设三棱锥P-ABC外接球的球心为O，连接OA，设外接球的半径为R，

是 ABC外接圆的圆心，在Rt A O 中，AO=R，

ABC是等腰三角形， BAC= ，

O = PA=1，A =AC=2， = + ，

=1+4， R= ，  =4  =4 5 = 20 .

求解有一条侧棱与底面垂直的棱锥外接球的半径，常规方法有两种：

方法一：设椎体的高为h，由几何体的性质和射影定理可得外接球的球心O在过底面外接圆的圆心 和底面垂直的射线上，且O = ，令椎体的底面外接圆半径为r、外接球半径为R，则有 ;方法二：将该几何体补成直棱柱，运用直棱柱的性质来解题.

例3.已知在三棱锥A-BCD中，AB=CD= ，AC=BD= ，AD=BC= ，求三棱锥A-BCD的外接球直径.

解：因为三棱锥A-BCD三组对棱的棱长分别相等，故可以将该几何体补成一个长方体，设长方体的棱长分别为a，b，c，

则 ，

所以长方体对角线的平方为 ，设长方体的外接球半径为R，所以其外接球直径

总之，解答有关几何体外接球问题的基本思路是：①根据几何体底面的几何图形，确定底面多边形外接圆的圆心 ;②过底面外接圆的圆心作底面的垂线，在所作垂线上确定几何体外接球的球心O;③构造以外接球半径为斜边、O 为一直角边的直角三角形;④在构造的直角三角形中求出外接球的半径R;另一种方法就是补形法，将几何体补成我们所熟悉的正方体或长方体，利用正方体或长方体的体对角线求几何体外接球的直径.

（作者单位：安徽省蚌埠市固镇县第一中学 ）