与椭圆、双曲线顶点有关的性质

王坤蓉

文[1]研究了椭圆和双曲线在顶点处的一些直角性质，本文将提出更一般的结论。

定理1、如图，设椭圆的上、下顶点分别为B1，B2，M，N是椭圆上的两动点（不与B1，B2重合），直线MB1与NB2交点为P，直线MB2与NB1交点为Q，则PQ⊥y轴。

证明：设B2P，B2Q所在直线斜率分别为k1，k2，则由直线B2P的方程为y=k1x-b，

由，解得N点的坐标为，同理可得M点坐标为，所以。

由解得点Q坐标为，同理可得点P的坐标为，∴PQ⊥y轴

由此定理以及其证明过程可以得到以下的推论：

推论1、

推论2、设直线B2M，B2N的斜率分别为k1，k2，若k1，k2为常数m，则有

（1）点P，Q恒在定直线上

（2）

（3）（其中O为坐标原点）

推论3、如图，记直线MB1与NB2交点为P，直线MB2与NB1交点为Q，k1，k2分别为B1M，B1N的斜率，若k1·k2为常数m时，点P，Q恒在定直线。

其余性质与推论2类似。

推论4、如图，设椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，M，N是椭圆上的两动点（不与A1，A2，重合），直线MA1与NA2交点为P，直线MA2與NA1交点为Q，则有

（1）PQ⊥x轴。

（2）

（3）若k1·k2为常数m（k1，k2分别为A1N，A1M的斜率），则

①P，Q恒在定直线上。

②

③

推论5、如图，设椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，M，N是椭圆上的两动点（不与A1，A2，重合），直线MA1与NA2交点为P，直线MA2与NA1交点为Q，则有

（1）PQ⊥x轴。

（2）若k1·k2为常数m（k1，k2分别为A2M，A2N的斜率），则P，Q恒在定直线上。

其余性质与推论4类似。

定理2、设双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，M，N是双曲线上的两动点（不与A1，A2，重合），直线MA1与NA2交点为P，直线MA2与NA1交点为Q，则有

（1）PQ⊥x轴。

（2）

（3）若k1·k2为常数m（k1，k2分别为A1N，A1M的斜率），则

①P，Q恒在定直线上。

②

③

特别地，当k1·k2=-1即m=-1时，就可以得到文[1]中，所有的结论。

参考文献

[1]数学通讯《椭圆和双曲线的一种直角性质》2006年第12期