关于旋转型最值问题的探讨

姜敏霞

摘要：最短路径模型是初中数学九大模型之一，而本次所要探讨的旋转型最值问题又是最短路径其中的模型之一。最值问题在初中数学中占了很大的比重，是中考数学的热点问题，它主要考查学生对平时所学数学内容的综合运用能力，具有较强的灵活应用性。其关键是要以数学思想方法为指导，找准问题的切入点，建立恰当的数学解题模型，寻找捷径，从而把问题化繁为简，使问题得以解决。

关键词：旋转型最值;问题;中考数学;数学思想;最短路径;模型

1.旋转型最值问题的研究背景

最值问题是初中数学的重要内容，具有较大的灵活性和应用性，同时也是一类综合性较强的数学问题，是中考数学的热点问题。它主要考查学生对平时所学数学内容的综合运用能力，关键是要学会以数学思想方法为指导思想，找准问题的切入点，构建合适的问题解决的数学模型，找寻问题解决的捷径，从而把最值问题由复杂转为简单，使问题得以解决。

旋转型最值问题首次出现在浙教版初中数学九年级上册第三章的圆中，这也是学生在初中阶段内首次接触与圆相联系的问题。不过当时并未具体出现旋转型最值问题的迹象，反而是在九年级下册第二章与圆有关的位置关系这一章节中才真正出现。与圆有关的位置关系这一章节中首先讲诉的是点与圆的位置关系，这也是旋转型最值问题的基础题型。其基本题型如下所示：

如图，设圆的半径为r，平面内任一点到圆心的距离为d，则

1.点在圆外d>r，如点A

2.点在圆上d=r，如点B

3.点在圆内d

至此，学生们充分理解到点与圆的位置关系可以通过点到圆心的距离d和该圆的半径r的大小比较来判断。点在圆外，d>r;点在圆上，d=r;点在圆内，d

2.旋转型最值问题研究中出现的问题

旋转型最值问题是中考数学的重要内容，具有较强的灵活应用性，也是一类综合性较大的问题。因为它贯穿了初中数学的始终，是一个热点问题，所以学生们平常在做题时会发现书本的知识点难以应用在实际题目当中。一方面可能是学生刚遇到此类题型，还没有熟悉题目类型;另一方面还是因为题目的灵活多变性，使得学生们不能以惯性思维来做题。

比如在2018年嘉兴市中考中有一道选择题：

1.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（   ）

A.点在园内      B.點在圆上     C.点在圆心上     D.点在圆上或圆内

解析：此题着重考查学生对点与圆的位置关系的掌握情况，以及它的实际应用能力。点与圆的位置总共只有三种，因此要使“点在圆外”不成立，只能使点在圆上或圆内，故选D.

上诉题目是点与圆的位置关系这类题型的基本题，题型较为简单，是学生们都能够掌握的题型，但题型一旦发生变化，基础掌握不够扎实的学生犯错的概率便会变大，甚至还会学生对此束手无策。如此类题型：

2.如图，已知线段OA=4，OB=2，OB绕点O在平面内旋转360°，问AB的最大值和最小值分别是多少？

3.如图，已知线段OA=4，OB=2，以点O为圆心，OB、OC为半径作圆，点P是两圆所组成圆环内部一点（包括边界）。问：

（1）若PA的最大值为10，则OC的值为？

（2）若PA的最小值为1，则OC的值又是多少？

3.旋转型最值问题中的解决方法及实际运用

对于这类题型，关键是要学会以数学思想方法为指导思想，找准问题的切入点，构建合适的问题解决的数学模型，找寻问题解决的捷径，从而把旋转型最值问题由复杂转为简单，使问题得以解决。

问题2中讲述OB绕点O在平面内旋转360°即点B在以O为圆心，半径为2的圆上，OA=4意味着点A在圆外，本题可以描述为圆外一点到圆上一动点的距离最大值和最小值的问题。另一方面，我们可以看到线段OA，OB，AB在平面内可以构成一个三角形，而三角形有一个基本性质：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。因此可将问题转化到三角形的性质上来进行解决。由此我们可以知道线段AB的最大值为OA+OB，最小值为OA-OB。

问题3 中点P不再像点B一样在圆周上运动，而是在圆环内部（包括边界）运动，大大增加了本题的难度。在问题2中我们运用了三角形的基本性质进行求解，那是否也可以用它来求解问题3呢？我们不妨从这方面来考虑。考虑最值问题时我们需要考虑边界问题，当点P在以OB为半径的圆周上时，这就是问题2 所要求解的问题。故点P出现在以OC为半径的圆周上时才是问题解决的关键点。根据三角形性质任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可知线段PA的最大值为OA+OC，最小值为OA-OC，即可求解此题。

4.旋转型最值问题在初中数学的发展

最值问题是初中数学的重要内容，是中考数学的热点问题，它主要考查学生对平时所学数学内容的综合运用能力，具有较强的灵活应用性。其关键是要以数学思想方法为指导，找准问题的切入点，建立恰当的数学解题模型，寻找解决问题的捷径，从而把问题化繁为简，使问题得以解决。

在碰到此类问题时需静下心来，沉着应对，不要被它复杂的外表所欺骗，找准关键点，掰开题目所要传达的真正意义，运用恰当的方法进行求解。