一类分数阶扩散方程的反演问题研究

张 兰

(西安航空职业技术学院，陕西 西安 710089)

随着数学理论和计算技术的快速发展，一些污染扩散问题可以通过数学中的反问题进行数值模拟[1-2]，如可以通过反问题的计算来确定污染源等[3-8]。然而客观世界中的污染存在着漫扩散现象，无法由经典的整数微积分模型来描述。分数阶扩散模型是由学者Maneldbrot[9]提出的，其具有良好的记忆性，可以用来描述污染物的扩散，模拟实际现象。因此，寻找行之有效的分数阶扩散方程的反演方法对于治理污染问题有非常大的意义和研究价值，也可以更好地解决具有漫扩散现象的其他问题。

目前，对分数阶扩散方程的研究主要集中在正问题方面，对反演问题的研究相对较少。谷文娟等[10]利用最佳摄动量正则化方法对分数阶扩散方程的扩散系数进行了反演计算；王俊刚[11]运用几种Tikhonov正则化方法求解了时间分数阶扩散方程的反初值和反源项问题；Zhang等[12]将反问题转为优化问题，对分数阶扩散方程的源项反演问题进行了数值模拟。在分数阶扩散方程的反演问题中，正则化方法是使用较多的方法，通过正则化方法将反问题转化为泛函极值问题，可以很好地降低反问题的求解难度。而正则化方法中，解的精度又依赖于参数的合理选取[13-18]，因此选择合适的正则化参数是分数阶扩散方程反演问题的重要一环。

近年来，随着智能算法具有快速发展和易收敛于全局最优解的特点，越来越多的智能算法被应用于优化问题。……