命题需谨慎 解题要反思

田兴辉

[摘  要] 创新是试题命制的客观需要，但由于命题者水平和经验所限，难免会出现一些错题或错解，文章通过具体案例，试图理清错因并找到应对办法.

[关键词] 命题;解题;错因;反思

高中数学知识面广、难度大，知识点间交错繁杂，由此给命题带来很大风险，稍有不慎就会出现致命问题. 笔者选取了看似完美的两例错题，借此探寻错题、错解的根源，思考如何引以为戒或化错为宝，使其成为我们教学的铺路石.

题一：已知函数f（x）对任意实数x，y，满足f（x+y）=f（x）+2y（x+y）且f（1）=1，求f（x）的解析式.

解法一：令y=-x，可得f（0）=f（x）.

再令x=0，y=1，由f（1）=1，得f（0）= -1，故f（x）=-1.

解法二：令x=0，y=1，由f（1）=1，得f（0）=-1.

再令x=0，y=x，得f（x）=2x2-1.

解法三：令x+y=1，得f（1）=f（x）+2（1-x），？搖即f（x）=2x-1.

评注：此题至少会得到以上三种结果，而且看似都很有道理，究竟孰是孰非？学生很茫然，我们尝试用求出的解析式分别计算一下f（2），会得到三个不同值，到底是哪里出问题了呢？下面来一探究竟：

根据条件“对任意实数x，y，满足f（x+y）=f（x）+2y（x+y）”，可知这是一道抽象函数问题，比较适合用赋值法解决. 下面给变量赋值，令y=-x，代入条件可得f（x）=f（0），而f（0）是一个常数，这说明f（x）是常数函数. 沿着这个思路分析，由于f（x）是常数函数，那么必有f（x+y）=f（x）=f（0），代入已知条件会得到f（0）=f（0）+2y（x+y），也就是对任意实数x，y，2y（x+y）=0恒成立，这显然是一个假命题，这个题目的症结在于已知条件之间互不相容，这种自相矛盾的函数是不存在的.

题二：已知函数f（x）=■，若x1，x2都大于0，且x1+x2

错解：由f（x）=■求导可得，f′（x）=■.

因为00，所以f（x）在（0，e）上是增函数. 因为x1+x20，x2>0■，所以x1

同理，lnx2<■x2. 所以lnx1+lnx2<■x1+■x2=ln（x1+x2），所以lnx1x21.

评注：本题不妨换种解法，假如利用权方和不等式解决，会得到如下结果.

显然，原答案给出的解法是利用函数的单调性建立不等关系，看似顺风顺水，实则极其隐蔽地扩大了取值的范围，这也提醒我们命题时不妨用一题多解验证一下，也许会发现一些潜在的隐患.

思考

其一：命题需谨慎，不能盲目创新.由于命题需要，我们常会处心积虑的原创或改编一些新题，但由于考虑欠周全或是没有经过实践检验，难免会出现意想不到的纰漏. 常见的错误多见于条件的设置，尤其是条件之间不兼容， 甚至条件与公理、定理、定义相矛盾，这就要求命题者要多角度思考问题和尝试一题多解，避免题设条件的对立或开放，确保数学命题的严谨性和科学性.

其二：解题要反思，不能迷信答案.对于发现的错解，最好不要轻易放弃，因为越是这类题目，学生越是感到好奇，越想知道其所以然.如果我们能充分挖掘错题的教育功能，对于调动学生的学习积极性，培养他们思维的严密性和批判性，都将起到很好的作用. 对于出现的不同结果，要抓住区别和联系，辨明是非和方向，深入剖析错解根源，激发学生从多角度出发进行深度思考. 此外，还可以挖掘错题的数学价值，重新开发利用，使其变废为宝，把修正错题当作培育数学理性思维的良好载体.