偏序集上的素强滤子

2020-10-10 06:14李效民姜广浩
南昌大学学报(理科版) 2020年3期
关键词:同构子集集上

李效民,姜广浩

(1.佛山职业技术学院财经管理学院,广东 佛山 528000;2.淮北师范大学数学科学学院,安徽 淮北 235000)

1 引言与预备知识

为了回答文献[1]中的一个问题,2006年姜广浩等在文献[2]中引入了偏序集上的局部极大理想的概念。2007年,姜广浩等推广了上述概念,并提出了滤子极大理想的概念[3]。此外,潘美林等在文献[4]中给出了弱理想的定义,得到了若干好的结果,进而丰富了特殊元理论。

2017年,唐照勇等在文献[5]中引入了强理想的概念,并研究了其在有限偏序集上的应用。文献[6]引入了强集的概念,并将文献[5]中元素间连通关系的定义推广到一般偏序集上。在此基础上,本文在偏序集上引入素强滤子的概念,并研究其相关性质。此外,考察素强滤子、素滤子、强滤子三者之间的关系。最后得到:强滤子在序同构映射下的像是强滤子;素强滤子在序同构映射下的像是素强滤子。

定义1[1]设E是集合,≤是E上的二元关系,若≤满足以下性质:

(1) ∀a∈E,a≤a;

(2) ∀a,b∈E,a≤b,b≤a⟹a=b;

(3) ∀a,b,c∈E,a≤b,b≤c⟹a≤c,则称≤为偏序关系,称(E,≤)为偏序集,简记E。

定义2[1,7,8]设F是偏序集(E,≤)的非空子集,称F是E的上(下)集,若对∀x∈E,a∈F,a≤x(x≤a)蕴含x∈F,即F=↑F(F=↓F)。定义3[9]A称非空子集I是偏序集(E,≤)的滤子,若I满足以下条件:

(1) ∀a,b∈I,∃c∈I使得c≤a,c≤b;

(2) ∀a∈I,b∈E,a≤b蕴含b∈I。

定义4[5]若I是偏序集(E,≤)的定向真强集,则I是E的强理想。对偶的,若I是偏序集(E,≤)的余定向真强集,则I是E的强滤子。

定义5[6]设I为偏序集(E,≤)的非空子集。称I为E的强集,若I既是上集又是下集,即I=↑I=↓I;称I为E的真强集,若非空真子集I是强集。

定义6[1]设I为偏序集(E,≤)的滤子。若EI=∅或EI为E上的理想,则称I为素滤子。

定义7[1,10]设E与F为偏序集,f:E→F是映射,若∀a,b∈P,a≤b⟹f(a)≤f(b),则称f是单调映射,单调映射也称为保序映射或序同态映射。

定义8[1,10]设E与F为偏序集,f:E→F是保序双射,若f的逆映射f-1也是保序映射,则称f是保序同构映射或序同构映射。

2 主要结论

定义9设F为偏序集(E,≤)的非空子集,F为E的强滤子。称F为素强滤子⟺EF为E的强理想或EF=∅。

注1素强滤子是强滤子,但强滤子未必是素强滤子。

例1图1是偏序集(E,≤)的Hasse图,E={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}。令F={a,b,c,d,e,f},则F强滤子,但F不为素强滤子。事实上,EF={g,h,i,j}不为定向集,所以EF不为理想,进而EF不为强理想。

注2素强滤子是素滤子,反之未必成立。

例2图2是偏序集(E,≤)的Hasse图,E={a,b,c,d,e,f,g,i}。令F={a,b},则F为素滤子,但EF={c,d,e,f,g,i}不为强理想,故F不为素强滤子。

注3素滤子未必是强滤子,强滤子也未必是素滤子。

例3在例2中,令I={a,b},则I为素滤子。由于I不为强集,故I不是强滤子。

例4在例1中,F为强滤子,但EF不为理想,故F不是素滤子。

综上可得强理想、素理想及素强理想之间的关系如图3:

引理1[6]设F是偏序集(E,≤)的非空子集。则F是E的连通分支当且仅当F既是强集又是连通子集。

定理1设E为连通偏序集。若F为E的强滤子,则F为E的素强滤子。

证明设F是E的强滤子,则F是E的余定向真强集。由偏序集的任一余定向子集都是连通子集,知F是E的连通子集。所以F既是强集又是连通子集。再由引理1知F是E的连通分支。此外,由于E是连通偏序集,故E也是连通分支,即E中只有一个连通分支。所以E=F,则EF=∅,从而F为E的素强滤子。

因为余定向偏序集是连通偏序集,同时也是强滤子。所以易得以下推论。

推论1设E为余定向偏序集,则E本身为素强滤子。

定理2设E和F是偏序集,f:E→F是序同构映射。若非空子集G是E的强滤子,则f(G)是F的强滤子。

证明设序同构映射f:E→F,G⊆E为强滤子。∀a*,b*∈f(G),存在a,b∈G使得a*=f(a),b*=f(b)。由G为余定向集,故∃c∈G,使得c≤a,c≤b,由f保序,得到f(c)≤f(a),f(c)≤f(b)。故f(G)是余定向的。下证任意f(G)既为上集又为下集。首先证f(G)为上集,一方面f(G)⊆↑f(G),另一方面∀y∈↑f(G),∃g∈G,f(g)∈f(G)使得f(g)≤y。因为f-1保序,所以f-1(y)∈E且g≤f-1(y)。又G为强滤子,故G必为上集,从而f-1(y)∈G,进而有f(f-1(y))∈f(G),即y∈f(G),故↑f(G)⊆f(G),所以↑f(G)=f(G),即f(G)为上集。同理可证f(G)为下集,综合可得,f(G)是F的强滤子。

注4由定理2可知,在序同构映射下,强滤子的像仍是强滤子。

定理3设E为偏序集,f:E→E为投射,X⊆f(E)为强滤子。若infEX,inff(E)X存在且infEX∈E,则inff(E)X=f(infEX)。

证明假设X⊆f(E)的上确界存在且属于E,则∀x∈X,由infEx≤x和f的单调性,可得f(infEX)≤f(x)。又由f的幂等性可得f(infEX)≤x,故f(infEX)为X在f(E)中的一个下界。假设a∈f(E),且a是X的另一个下界,则有a≤infEX,由f的幂等性和单调性,有a=f(a)≤f(infEX),故f(infEX)是X在f(E)中的下确界。

定理4设E,F为偏序集,f:E→F为序同构映射,若D为E的素强滤子,则f(D)为F的素强滤子。

证明若ED=∅,依据定义9知,D=E是强滤子。由定理2,f(D)=F为强滤子,Ff(D)=∅,即f(D)是素强滤子。

若ED≠∅。由定理2可知f(D)为强滤子,下证Ff(D)为强理想。

∀y1,y2∈Ff(D),∃x1,x2∈ED,使得y1=f(x1),y2=f(x2)。由ED为强理想,故ED定向,进而∃z∈ED,使得x1≤z且x2≤z,又f是序同态的,故f(x1)≤f(z),f(x2)≤f(z),即y1≤f(z),y2≤f(z)。又由f(z)∈Ff(D),故Ff(D)是定向的。

设x∈Ff(D),y∈F且y≤x。由f序同构,知f-1(y)≤f-1(x)。因为ED为强理想,所以ED为下集,由f-1(x)∈ED,f-1(y)∈f-1(F)⊆E,可得f-1(y)∈ED。故f(f-1(y))∈Ff(D),即y∈Ff(D)。所以Ff(D)为下集。类似可证明Ff(D)为上集。故Ff(D)为强集。

综上可知,f(D)是素强滤子。

猜你喜欢
同构子集集上
关于短文本匹配的泛化性和迁移性的研究分析
魅力无限的子集与真子集
拓扑空间中紧致子集的性质研究
运用同构法解题的步骤
指对同构法巧妙处理导数题
同构式——解决ex、ln x混合型试题最高效的工具
伦理与法律:作为方法的“家国同构”及其统合功能
基于互信息的多级特征选择算法
关于奇数阶二元子集的分离序列
师如明灯,清凉温润