积分上限函数的求导方法及其应用
——以一道考研试题的解法和拓展为例

陈亚

（安阳师范学院，河南安阳 455000）

每年的研究生入学数学考试中，积分上限函数是一个必考的知识点，积分上限函数难度系数不算很高，但学生在求解过程中的计算步骤较多，中间有任何一步计算错误就会得出错误结论，近几年的考试题目在传统题型的基础上不断加大难度，出现了跟课本上不一样的类型，其目的还是考查学生对积分上限函数的概念是否理解，学生做题过程中经常死搬硬套课本上的求导方法，结果导致计算错误，本质上还是对积分上限函数理解不到位，下面以一道考研题目为例，对积分上限函数常见的题目类型进行分析，并给出通用的解题方法及思路。

2017年考研数学三第15 题是一道简答题，题目如下：

1 题目分析

这道题目本质是求极限问题，分子分母均趋向0，属于不定型，符合洛必达法则使用条件，所以可以使用洛必达法则进行求解，求解过程中，需要涉及积分上限函数求导问题，在经济数学教材中对积分上限函数给出了3 种情形，它们分别如下。

这3 种情形是最为常见的情形，它们的共同之处就是被积函数只包含形参，不含有f（x）的项，若碰到积分里面含有f（x）的项，则上述公式就失效，如果硬套用公式，就会得出的错误结论[1-3]。 被积函数里含有f（x）的的积分上限统称为含参积分上限函数，对于这类函数的求导最常见的方法是通过变换将含x 的项分离出来，分离之后再利用求导法则进行求解。

2 题目解法

解法1：将含x 的项分离出来，将之转化为常见场景：