利用GeoGebra对一道高考题的深度探究*

朱阳帆 (江苏省扬中高级中学 212200)

1 问题的提出

原题(2018全国卷Ⅱ理19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8．

(1)求l的方程；

(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程．

解(1)y=x-1(过程略)．

这题是高三二轮复习时的一道练习题，大部分学生的答案少一解，课后交流了解到学生潜意识里认为满足题目中所给条件的圆只有一个．在分析学生错因的同时，笔者想到这样一个问题：

探究1平面内有一条定直线l，有A,B两点在定直线l同侧，A,B两点的连线与l不平行，那么过A,B两点且与直线相切的圆有几个？

GeoGebra作为一款融几何、代数和微积分等于一体的动态数学学科软件，能够深入数学学科内部，展现数学对象间严格的数量关系和几何关系、运动与变化中的数学规律，特别适合对解析几何问题进行探究．[1]下面笔者展示利用GeoGebra探究这道高考题的过程．

2 探究过程

笔者用GeoGebra对探究1进行了探究：根据题目要求在平面内作出直线l和A,B两点，利用切线工具和圆工具，作出了如图1所示的两个圆，可得如下结论：

图1 图2

图1结论：当AB两点的连线与直线l不垂直也不平行时，一定能做出两个半径不一样的圆过AB两点且与l相切．

通过对问题1的探究，笔者得出此高考题的题源来自于图1结论：过一条直线外同侧的A,B两点(A,B两点的连线与l不平行)且与l相切的圆有两个．这是利用GeoGebra探究观察得到的，如何对它进行证明呢？经过思考，笔者用GeoGebra进行了如下操作(图2)：(1)作直线AB交直线l于点P，找到PA的中点M，以M为圆心、MP为半径作圆M； ……