气垫层粘滞阻尼系数的计算与测量①

蔡 彦, 单长吉，杜国芳，马殿旭

(昭通学院物理与信息工程学院，云南 昭通 657000)

0 引 言

气垫导轨是大学物理实验中常用的仪器，在其上可开设多个实验，可用于测量重力加速度，验证动量守恒定律、牛顿运动定律等。气垫导轨空腔中的气流从小孔喷出，在滑块与轨道间形成了很薄的空气层，所以气垫导轨装置的特点是运动的滑块与轨道不直接接触，没有接触摩擦，阻力很小[1-3]。

1 滑块所受阻力

滑块在气垫导轨上运动时，虽然阻力很小，但依然不能忽略，滑块所受阻力可表示为[4-5]

f=f1+f2+f3

(1)

式(1)中，f1为非气垫层粘滞阻力，f2为气垫层粘滞阻力，f3为小孔中喷出气体形成的喷射阻力。

f1指的是滑块运动方向前端、侧面及后端受到的空气阻力之和，由斯托克斯阻力定律，f1可表示为

f1=b1·v

(2)

式(2)中，v为滑块运动速度，b1为非气垫层粘滞系数，与滑块速度、滑块长度、空气粘度和空气阻力系数成正比关系。

f2指的是轨道与滑块之间的气垫层相对运动产生的粘滞阻力，可表示为

(3)

f2=b2·v

(4)

f3可表示为

(5)

f3=b3·v

(6)

令b=b1+b2+b3，称为粘滞阻尼系数，则

f=b·v

(7)

b值可以反映轨道与滑块接触面的光滑程度、是否水平等指标，还反映了空气的粘度。b值的测定，可以修正重力加速度测量中的误差。

2 粘滞阻尼系数b的计算与测量

在气垫导轨上应用牛顿第二定律，有

F-f=ma

(8)

(9)

由式(9)积分得

(10)

式(9)中，s为轨道上两个光电门的间距，将滑块的初始条件s|t=0=0和v|t=0=v0代入式(10)，得

(11)

(12)

则有

(13)

(14)

由式(13)和(14)得

(15)

故有

(16)

(17)

对于式(17)，气垫导轨水平时，F=0，则有

(18)

式(18)中，v1、v2分别为滑块在水平气垫导轨上经过间距为s的两个光电门时的速度。为保证轨道水平，并减小实验误差，测量两个方向的速度差值较为准确，即[6-7]

(19)

式(19)中，v2′、v1′分别为滑块在水平气垫导轨上反向经过两个光电门时的速度。

为了求得气垫导轨水平情况下的粘滞阻尼系数b，在室温为27.94℃的实验条件下，进行了实际测量，实测数据及相应结果如表1所示：

表1 气垫导轨水平情况下的粘滞阻尼系数b

图1 粘滞阻尼系数b随垫块高度的变化趋势

对于式(17)，当气垫导轨倾斜时，F=mgsinθ=ma+f，则有

(20)

(21)

式(21)中，v3、v4为滑块在倾斜气垫导轨上从距离第一个光电门固定高度释放，自由下滑到另一端反弹后，上滑经过两个光电门时的速度。

由解(20)、(21)式并整理，得

(22)

为了求得气垫导轨倾斜情况下的粘滞阻尼系数b，在室温为27.94℃的实验条件下，进行了实测，实测数据及相应结果如表2,3,4,5,6,7所示(其中：垫块高由最小分度值为Δ=0.02mm的游标卡尺测得)：

表2 垫块高h=0.500cm时的粘滞阻尼系数

表3 垫块高h=1.000cm时的粘滞阻尼系数

表4 垫块高h=1.500cm时的粘滞阻尼系数

表5 垫块高h=2.000cm时的粘滞阻尼系数

表6 垫块高h=2.500cm时的粘滞阻尼系数

表7 垫块高h=3.000cm时的粘滞阻尼系数

从测量结果来看，粘滞阻尼系数b随气垫导轨倾斜度增大而增大，即随着轨道一端的垫块高度增加而增加，是一个变化量。受计时测速仪灵敏度等的限制，当垫块高度增加至更高时，难以测量准确的v3及v4，故实验中垫块高度增加至3.000cm为止。为了直观描述粘滞阻尼系数b随垫块高度的变化关系，将每个垫块高度时实测的粘滞阻尼系数均值进行绘图，结果如图1所示：

由图1可见，粘滞阻尼系数b随垫块高度h近似线性变化，关系式为b=18.324h+ 16.356，故可知，粘滞阻尼系数b并不是常量，而是一个变化量，且随着气垫导轨的倾斜度增加而逐渐增大。

3 结 论

分别从滑块在水平和倾斜气垫导轨上的运动情况出发，对滑块所受阻力进行了分析，并得出其表达式，在此基础上，对粘滞阻尼系数b进行了分析。通过实验测量并进行计算，得出气垫导轨水平时的粘滞阻尼系数b，并得到气垫导轨倾斜时，即不同垫块高度情形下的粘滞阻尼系数b。实验结果表明，粘滞阻尼系数b并不是常量，而是一个变化量，其随着气垫导轨倾斜度的增大呈现近似线性增大。实验结果可作为大学物理实验课程中气垫导轨相关实验项目的参考，用于修正测量中存在的误差。