以形助数 以数解形

?董苗红

《数学课程标准》中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”数学思想有许多，数形结合思想就是其中一种重要的思想。数形结合就是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念;可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法;可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。本人谈谈在教学中的点滴体会：

一、概念教学中的数形结合

建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。

例如：二年级上册《乘法的初步认识》中通过游乐场主题图来引入乘法，为了让学生理解乘法的意义，教材提供了大量同数连加的现实情境，如坐小飞机、小火车和过山车的同学，每束个数相同的气球，每串数量相同的钥匙以及每份数量相同的胡萝卜、香蕉等等，为学生提供丰富而生动的直观图像，然后让学生对照图形写同数连加算式，再引导学生用 “几个几”的方式来表达同数连加的具体情境，最后将同数连加的算式改写成乘法算式。通过具体情境的图形与乘法算式的结合，使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。

从学生的思维活动过程来看：在这个学习过程中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的同数连加的具体情境图，抽象成连加算式，再抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。

二、计算教学中的数形结合

小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然。数形结合，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。如，在教学“分数乘分数”时，出示例题：李伯伯家有一块 公顷的地。种土豆的面积占这块地的 ，种土豆的面积是多少公顷？要理解分数乘分数的算理，其根本在于对分数意义的理解。让学生先明确 公顷就是1公顷的 ，求种土豆的面积就是求 公顷的 ，是以 公顷为单位“1”，把它平均分成5份，取其中的1份。可以让学生画画图，用图示帮助理解算理。

把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解了分数乘分数的算理。

以上的例子就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来理解算式的意义。

三、解决问题教学中的数形结合

小学生在学数学的过程中，往往会单维度地思考问题，这其实就是受他们空间想象能力制约的影响。儿童在观察的过程中，只观察到事物的表面现象，却不能透过现象，找出事物的本质。教师应指导他们逐渐懂得看问题应该从什么角度看，找出问题内在的规律，逐步形成由浅入深，利用数形结合的思想，将复杂问题简单化。

有些数学问题对于学生而言比较复杂的原因并非解答过程比较繁琐，而是没有方法。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，要寻求一些技巧和捷径，运用几何直观也不失为一种上策。如：人教版一上P79例题6，小丽排第10，小宇排第15，小麗和小宇之间有几人？对于一年级的孩子，他们还没有什么解题经验，他们容易凭直觉直接运用这两数计算：15-10=5（人），个别学生扳起手指逐一数出之间应有4人。这时教师可引导学生画一画，如图所示，

更加直观的把题目呈现出来，同时也看出了结果。启迪孩子的思维，让孩子直观感受人数与间隔数的关系，让孩子明白有些题目通过画图可以画出答案，画图能帮助解决问题。在以上的解决问题的过程中，渗透了数形结合的思想。

四、运算定律的教学中的数形结合

儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要意义。例如在学生学习了乘法分配律后，教师可以引导学生用图形的面积计算来解释乘法分配律：（a+b）×c=ac+bc。

数形一结合，学生恍然大悟：大长方形的面积是长（a+b）乘宽（c），即（a+b）×c;大长方形的面积也可以看作两个小长方形的面积之和，即ac+bc。由此可以得出：（a+b）×c=ac+bc。

从这里不难看出：“数”、“形”互译的过程，也是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持，从而使运算定律变得形象生动。

综上所述，在小学数学教学中，学生懂得“数形结合”的数学思想方法后，对于小学数学知识的理解性记忆是非常有益的。在数学教学活动中，通过数与形的结合，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性思维的好习惯。因此，教学中要对学生加强渗透“数形结合”思想，培养学生运用“数形结合”的意识。