例析圆与向量的交汇问题

江苏省宜兴市和桥高级中学 (214211) 王 蓬

近年来经常出现圆与平面向量交汇的问题，这是两个难点的叠加题，由于涉及知识点比较多，给解题增加了难度.本文通过分类举例，并对典型例题进行剖析、对解法进行评注.

一、抓住圆的知识解向量问题

图1

评注：在充分考察已知条件后，将所给三角形特殊化为直角三角形，为后面利用建立坐标系解题提供了便利，这是特殊化解题的一个成功例证，虽然此法不一定是最好，但这是一个重要的解题思路．

评注：题中的A、B两点分别在两个圆上运动，将两个动向量转化为定向量(长度、方向确定)是解题主要任务，通过建立适当的坐标系、利用函数与方程是解决此类问题有效途径之一．

二、关于圆弧上动点的向量问题

图2

评注：关于圆弧上动点问题，首先需要确定圆心，然后建立以圆心为原点的直角坐标系后，圆上的动点坐标就可以表示出来了，为下面用坐标表示向量后解题扫清了障碍．

图3

评注：题设中的圆弧虽然没有直角，但只要抓住圆心和半径就可以建立直角坐标系，把圆上的动点设出来，这样向量就就能由坐标表示了，同时要注意所设的角参数θ的范围．

三、挖掘隐含圆解向量问题

图4

评注：本题中没有点坐标，而是抓住单位向量设坐标，引出了直角坐标系，再通过设动点，根据已知条件得到动点的轨迹为圆，求出圆的方程后再运用圆心到直线的距离解决了问题，其中得到圆的方程并加以运用是解题核心．

例6 已知A,B,C,D四点共面，BC=2，AB2+

图5

四、运用圆的性质解向量问题

评注：通过建立直角坐标系，设点，就可以把题设条件转化为一个圆的方程，然后利用圆的相关性质使问题化解，题目中虽然没有圆的条件，将已知条件转化变形可以达到目的．