角的分类教学要把准“火候”

陶继峰

摘  要：角的分类其实是一个简单的概念，角度的测量也不是难点，但对于小学生而言，在学习这部分内容之前，既不要求掌握量角器的用法，测量角的度数，也不要求给三类角下定义，只需要初步认识锐角、直角、钝角，并能辨识和区分它们。此时，教学的火候很重要，既不能“过火”也不能“欠火”。

关键词：案例;三角;锐角;直角;钝角;比较

一次听课，看到某位教师讲到角的分类，是按照如下方法进行讲解的。方法不成问题，没有重大失误，但总觉得火候不够，学生没有直观地领悟到锐角和钝角在形貌与性状上与直角的关联与区别，同时又觉得如果继续深入地教会学生量出角的大小，然后直接用数据说话——大于90°的是钝角，小于90°的是锐角，又有些超纲、超前，不利于学生的自然成长。那么，如何在直观感知与逻辑判断之间找到平衡，是我们研究的关键。

师：图1属于哪类角？扩放后又属于哪类角？图2属于哪类角？

师：上述这些角都属于什么角？（直角）这些角有什么特征吗？（直角都一样大）

师：在纸片○里画一个与直角不同的角。

（学生画角并反馈。）

师：能把这些角分门别类吗？按什么标准分类较为妥当？

（学生合作交流后，一致表示将角分为两类。）

师：用“三角尺”里的“直角”与画在黑板上的直角图形比对，分出大小。

师（小结并板书）：如图3所示。

师：请大家用“三角尺”中的“直角”测度一下自己画出的角，并判别属于哪类角。

（学生操作反馈。）

一、案例分析思考

上述案例中，教师以直角为突破口，通过画角、划归类别、对比，指引学生很直观地看出：开口程度小于直角的是锐角;开口程度大于直角的是钝角。教学过程算得上行云流水，丝丝入扣。然而，笔者依然困惑。众所周知：度数为90°的角是直角;度数小于这个标准数值的角称为锐角;度数大于这个分界线的角称为钝角（浙教版初中课本七上）。当然，在小学阶段，这种精确定义实无必要。那么，像“小于直角的角统统是锐角，大于直角的角统统是钝角”这种表述妥帖吗？能否找到更严谨、周全的表述呢？为此，笔者先后查找了人教版和北师大版两版教材，意图从教材中找到一些蛛丝马迹。

图4是人教版课本对三种角的概念描述。这种文辞紧扣三种角的典型特征，通过“实物图”与“数学角”的互为印证，令学生接受三种角的直观模型，正确全面地认识三种角，单刀直入，直白晓畅。

图5是北师大版课本对三种角的文字描述。乍一看，与人教版课本雷同，细看之下，却又略有差别，主要是增添了若干指示代词（这）与判断动词（是）等语词，将三种角的外延刻画得更加确切。

无论是人教版教材还是北师大版教材，对于学生认识三类角，都不约而同地采取了直观比较法。简言之，就是以直角为标尺去定性地衡量角度的大小，按照直角的标准将角分为三类。值得提倡的是，树立直角的标准时，不是简单浅薄地以90°来定义（那样的话，使用量角器就会在所难免，成为新的难题），而是采用学生常见的几何作图工具“三角尺”来直观操作，在教会学生辨认三角尺的三个角的特征时，利用三角尺中现成的直角来作为分类标准。不仅如此，三角尺中的直角还顺带成为检测钝角和锐角的装置，用直观方法建立对角的分类的抽象认识。

二、对比教材，找出共性

1. 对三种角的概念描述，均是以“直角”为主语，以直角为参照物和标准值，在学生对直角先入为主建立牢不可破的观念后，再向学生推介锐角和钝角。

2. 对三种角的认识，不约而同都是以“三角尺”为操作工具，在与三角尺上的“直角”部件的“比对”中直观看出锐角与钝角的外部形貌，从而对锐角和钝角建立敏锐直觉。

3. 对三类角的描述都切中了要害，扣住了显著特征，特别是在认识锐角与钝角时，主要从与直角的大小比较来区分。

由此，我们发现一个现象，课本对三类角的引介都采取了“直叙”法，而非“定义”法。这是学生在尚未接触“周角与平角”“角的度量”等概念前，相对而言比较通俗易懂、平实浅白的提法。有些专家也认为：“在小学阶段，有些概念的提出，尽量浅显平白，不必咬文嚼字。”但笔者以为，学生用“自己的经验来思考并直抒胸臆，将最真实的想法说出来”，是返璞归真的表现，反馈的是学生最本真的思考状态。

既要让学生明确角大致分为三类以及三类角的特征和性质，但又不能明言，更不能用专业术语来下定义，这个时候就考验了编者和教者的教学功力。学生本身是具有一定的认知能力的，他们天生具备一定的分辨能力，只要紧紧抓住这点微光，大做文章，精心运作，是可以化腐朽为神奇的。那就是通过角度开口大小的直观重叠对比，从视觉上辨别出大小，然后引导学生认识大于直角的是钝角，小于直角的是锐角，在直角的基础上衍生出钝角和锐角两个新概念。这样一来，直角、锐角、钝角就形成一个认知结构体，它们之间相互呼应，并且对将来学习平角与周角起着重要的作用，因为这种用直角作为杠杆翘起其他概念生成的方法还可以继续迁移下去，如用直角定义平角，然后用平角定义周角。

三、根据课本启示提出的教学建议

关于角的教学，“课标”对第一学段做出的指示是：“结合生活情境认识角，了解直角、锐角与钝角”。此处所言的“了解”，笔者以为无非是要让学生借助经验直觉，知道将角大致分为三类，每一类的特点是什么，并能以这些特征为尺度来判定一个角属于什么角，或者能根据性质和要求画出对应的角。

如何让教学更加科学有效，笔者结合研读教材的心得，得出了四点思考：

1. 标准。直角是用来区分锐角与钝角的標尺，教学时务必抓住直角的基本特征，以直角为标准，在学生纯熟掌握其基本特征后，再来认识锐角与钝角。如教学时不妨让学生探寻“三角尺”（其中一块）上的直角部分，树立直角的“标准”样本，教师可以直言不讳地说，“此乃直角”，然后让学生探寻另一块三角尺或其他物品的直角，让学生借助模板的借鉴意义，丰富、完善和巩固直角的清晰概念，入脑入心。

2. 素材。因为小学几何是直观几何，提供的素材越是丰富多彩、涉及面广，学生掌握相关知识就会越顺利、坚固。在为学生搜集、整理、制备“角”的素材时，有两种选择。一是像案例中的教师那样发扬民主精神，让学生自由画图，然后集中汇报展示，这样生成的资源丰富且真实，但由于学生的个体差异以及不确定因素的存在，不规则或不规范的角便会粉墨登场，干扰视线，掣肘探究。二是教师一手包办，为学生准备各种不同的角（鱼龙混杂），让学生在操作（用直角去“比照”）中归类归总，从而归纳出“锐角”与“钝角”的概念。但不管采用哪种方法，呈现给学生的素材一定要面面俱到，这样有利于在大量案例中烘托出角的基本特征。

3. 方法。数学中很多说不清道不明的问题，通过“比照”之后，就不言而喻。“重合比较法”是帮助学生准确区分“锐角”与“钝角”的重要途径。教学中教师切记要让学生尽情去比较，通过“比”，也就是“量”（直观地比量）的过程来揣摩与反思，让学生掌握“比直角小”与“比直角大”的精确界限，洞悉“锐角”与“直角”的显著特征，从而勾描出“锐角”与“钝角”的概念。

4. 描述。虽然教学时对“什么是锐（钝）角”只需直叙，但笔者以为，如果在描述时语言能够更考究些、严谨些会更好。反观苏教版教材中的一些概念，如“像……这样的数，都是分数”“像3.50、1.06、16.85……这样的数，都是小数”，这些也并非严苛的学术定义，但却直白晓畅，浅显易懂。因此，笔者以为在描述锐（钝）角时，是否也可以在遣词造句上下功夫，采用“像、……这样比直角小（大）的角，都是锐（钝）角”的句式来表述，一方面容易让学生建立清晰的锐（钝）角具象，不会与周角、平角混为一谈;另一方面也有效规避了“比直角大的角是钝角”这样抽象模糊的表述;同时还与课本中其他概念惯用的语法相同，不会有疏离感。

将角分为直角、锐角、钝角这三类，非常科学。这样分类虽然无法做到像用量角器量出度数那样严苛，但却能够让学生张口就答，起码在小学阶段够用了，进而还可以迁移到三角形的分类上，即直角三角形、钝角三角形、锐角三角形。这表明，在小学阶段，学生对角度的认识只需要搞清楚三类情况就达标，其中只有直角赋予了精确度数（90°），以90°为分水岭，小于90°为锐角，大于90°为钝角，常见角的取值范围为0°至180°。这样的分类法，在表达一些特殊图形时大有裨益，如表达钟表上的时针与分针的夹角等，在表述梯形、矩形、平行四边形的内角時，也有了恰当的词汇。另外，锐角、钝角的名称也很形象生动、贴切适当。“锐利”和“迟钝”都是文学形容词，带有修辞作用，很容易让学生理解。