抓住立体图形展开中的不变量

刘护灵

在历届高考的立体几何问题中折叠与展开问题现在已经是常考的知识点之一，也是竞赛和高考对立体几何考查的热点问题，是考察考生空间想象能力与创新能力的良好素材. 它们的相互转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现. 对于图形的翻折与展开问题的关键在于画好折叠与展开前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠与展开前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化. 这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据. 下面我们分析2020年高考理科1卷的第16题.

一、原题呈现

16. 如图1，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD= ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB =__________.

二、解析过程

由平面展开图可知，在等腰Rt？驻DAB中，

BD= AB= ，

∵ D，E，F重合一点P，（这是本题关键的一个信息点）

说明什么呢？

说明了BF=BD，AE=AD，CE=CF！

即得到：

∴ AE=AD= ，BF=BD= ，

下一步需要在？驻ACE，把CE给求出来，即：

在？驻ACE中，由余弦定理，得：

CE2=AC2+AE2-2AC·AE·cos∠CAE=12+（ ）2-2×1× × =1，

∴ CE=CF=1，

最后一步，在？驻BCF中利用可求出答案，即：

在？驻BCF中，由余弦定理，得：

cos∠CAE= · =- .

解题反思1：2020年高考命题体现高考考纲修改的基本原则：“坚持整体稳定，推进改革创新，优化考试内容，着力提高质量，提前谋篇布局，体现素养导向”中，并将“整体稳定”放在首位. 试题考点比较常规，难度有所降低，题型分布回归常态. 注重对数学核心素养的考查，体现素养导向.

解题反思2：此16 题看起来考查的是解三角形，但考生比较难还原图形中的边长信息，所以实质还考查考生的空间想象能力、阅读能力. 据有关调查结果表明，大多数的老师平常上课的时候只……