待定系数法解决一类三角函数的最值问题

广东省中山纪念中学(528454) 邓启龙

高考真题(2018年高考全国卷Ⅰ理科第16 题)已知函数f(x)=2 sinx+sin 2x,则f(x)的最小值是____.

分析函数f(x)中既有sinx,又有sin 2x=2 sinxcosx,初看感觉无从下手,只能通过求导来求最值,于是得到解法一.然后观察f(x)的结构,发现可以利用不等式来求最值,于是得到解法二,三,四.

解法一只需考虑一个周期[0,2π].

令f′(x)=0 得易得当时,f(x)取最大值,当x=时,f(x)取最小值

解法二先求f(x)在一个周期[0,2π]上的最大值.令则f(π −x)=2 sinx −sin 2x≤f(x),f(π+x)=sin 2x−2 sinx≤f(x),f(2π−x)=−2 sinx−sin 2x≤f(x),所以f(x)的最大值在上取到.易知sinx在[0,π]上凸,由琴生不等式得

解法三同解法二得f(x)的最大值在上取到.

当且仅当3(1−cosx)=1+cosx,即时,f(x)取最大值又因为f(x)是奇函数,所以当时,f(x)取最小值

解法四f(x)=2 sinxcosx+2 sinx.假设当sinx=a,cosx=b时,f(x)取最大值,引入参数a,b ＞0,且a2 +b2=1.由得由sinx·a≤得于是

于是2 sinxcosx+2 sinx≤所以f(x)的最大值为当且仅当sinx=+2kπ(k∈ℤ)时,f(x)取最大值.又因为f(x)是奇函数,所以当时,f(x)取最小值

解法二把f(x)的表达式转化为三个角的正弦,且这三个角的和是定值,然后利用琴生不等式求出函数最大值.解法三把f(x)的表达式转化为正弦与余弦的乘积,然后利用多元均值不等式求出函数最大值,技巧性很强.解法四利用待定系数法,通过假设f(x)取最大值时sinx,cosx的取值引入参数,并利用结构特点和取等条件构造不等式,最后由系数的比例关系和参数满足的条件求出参数,进而求出函数最大值.

变式探究若函数f(x)中既有sinx,sin 2x,又有cosx,cos 2x,即f(x)=psin 2x+qcos 2x+rsinx+scosx,p,r,s≥0,如何求函数f(x)的最大值? 此时解法一仍然适用,但是方程f′(x)=0 不好解.由于系数p,q,r,s的一般性,解法二和解法三就不适用了.本文通过探究发现,解法四的待定系数法仍然可以解决这一类三角函数的最值问题.

假设当sinx=a,cosx=b时,f(x)=psin 2x+qcos 2x+rsinx+scosx取最大值,引入参数a,b ＞0,且a2+b2=1.由得由得由cosx · b≤得又qcos 2x=qcos2x −qsin2x,于是

下面通过例题来说明如何利用待定系数法解决这一类三角函数的最值问题.

例1(第六届世界数学团体锦标赛青年组试题第5 题)求函数f(x)=的最大值.

解f(x)=假设当sinx=a,cosx=b时,f(x)取最大值,引入参数a,b ＞0,且a2+b2=1.由得由sinx·a≤得由cosx·b≤得于是

例2(《数学通讯》2018年第12 期问题376)求函数y=sinxcosx+3 sin(x+)+sin(x −)的最大值.

解y=+ 3 sin(x+)+ sin(x −).令得y=+ 3 sin(t+)+ sint=假设当sint=a,cost=b时,y取最大值,引入参数a,b ＞0,且a2+b2=1.由sint · a≤得由cost · b≤得于是

注如果把展开,将函数整理为psin 2x+rsinx+scosx的形式,系数很复杂,最后得到的方程很难解.本文先作代换然后将函数整理为qcos 2t+rsint+scost的形式,系数简单,最后得到的方程也好解.