数形结合思想与高考数学解题技巧研究

肖立群

摘要：数学思想是数学解题的精髓、灵魂所在，在高中阶段的数学教学中，数学思想方法是一个难点所在，学生普遍对数学思想方法了解不深入，反应学习困难，在解题时，不能做到活学活用，导致解题效率不高，正确率偏低。本文以数形结合思想作为切入点，探讨了数形结合的应用原则，总结数形结合思想与高考数学解题技巧的应用。

关键词：数形结合思想;高考数学;解题技巧;研究

数形结合思想，即根据数、形对应关系，通过两者之间的转化来解决问题，有“以数辅形”、“以形助数”两个方法，在高考数学解题中，数形结合思想也是常用方法。从近几年高考数学试题来看，关于数形结合思想的考察，主要为客观题，应用这一思想，能够让抽象的数学问题变得形象、直观，帮助学生将抽象思维转化为形象思维，帮助其掌握问题本质，优化解题过程，激发出学生的解题灵感。

1 数形结合的应用原则

数学这一学科的研究对象是现实世界的数量关系与空间形式，在数形结合思想中，“数”是数量关系，“形”是空间形式，两者之间相互依存，在某些条件下，数、形之间可以相互转化，在研究数量关系时，经常会使用到图形，在研究数学图形时，常常要借助数量关系。数形结合思想是高中数学解题中的基本思想、方法，根据条件、结论联系来分析代数含义，揭示其中的几何直观，在高中数学解题中，数形结合思想的应用范围广泛，为数学问题的解决提供了全新思路，利用数来分析形的性质，由形想数，能够简化解题思路，将难度较高的数学问题化难为易。在数形结合思想的应用上，需要遵循几个原则：①等价性原则：数形结合思想中的“数”、“形”转换应当是等价的，如果构图不准确或者存在误差，很容易导致解题错误;②双向性原则：数形结合思想既涉及代数抽象问题，又涉及几何图形的直观问题，利用代数关系来替代几何直观图形，能够避免在构图分析上的种种局限，用图形代替代数关系，则变得更加直观;③直观性原则：在应用数形结合思想时，既要发挥出坐标、图形的作用，还要借助图形演示、模拟列表让抽象的内容变得具体、直观。如，在关于积分的教学上，即可应用黎曼用分割法求积分思想来进行转化，让学生对积分产生直观理解;④简洁性原则：简洁性原则要求在转换时，确保构图的合理、简单，代数要做到计算简洁，几何构图要直观、完善，减少繁琐、复杂的运算，降低解题难度，做到化难为易，化繁为简。

2 数形结合思想与高考数学解题技巧

2.1 数形结合思想与函数问题

函数图象，其本质是一种函数关系，是从形上来表达函数表换，为数量问题的研究提供了直观的“形”，图象、解析式是表达函数关系的主要形式，在解题时，经常需要转化。例如，在求函数最值时，有的问题比较复杂，计算量较大，在解题时，就需要转变思维方法，应用数形结合思想，根据代数式中的几何图形来求解最大值、最小值。代数的几何意义非常多，代表性的如：①直线斜率;②两点距离;③直线纵截距;④圆锥曲线问题。

关于数形结合思想在函数问题中的应用，主要包括几个方面：

第一，函数对称性

函数图像可以反映出解题关键点，如函数奇偶性、函数图像与坐标轴焦点，在解题时，可以根据题干函数图像来分析其中的信息，构建完整的函数表达式，绘制草图，从图像中分析规律，解答问题。

第二，函数大小对比

在函数的大小对比上，也可以应用数形结合的方式，在解决填空题时，应用数形结合，能够提高解题效率，对于函数大小的对比，在涉及两个以上变量或者题目内容复杂的情况下，应用数形结合思想，可以迅速画出草图，得出函数图像交点与问题的相关信息，省略计算步骤，高效得出正确答案。

第三，三角函数

高考中的三角函数内容，一般要求学生得出具体函数解析式，求出特定点函数，在三角函数中，涉及图像、周期、特殊点几个内容，只要掌握三角函数的图像画法，根据周期、振幅等数值，即可求得答案。

2.2 数形结合思想与方程、不等式问题

在解决高考中的方程问题上，数形结合思想也具有广泛应用，对于方程，可以将其转化为，也可以将其看做与图像交点横坐标，在解題时，只要绘制出函数图像，就可以清晰看到交点位置、坐标，根据上述信息来求解。在高考的选择题中，不涉及解题过程，利用数形结合思想，能够简化解题思路，节约时间。在解决计算题时，利用数形结合思想，能够迅速判断出结果的对错。

2.3 数形结合思想与线性规划问题

在高中阶段的线性规划知识内容，难度不高，一般情况下，是直线方程的简单应用，在高考题目中，有时会结合圆锥曲线、圆来考察，难度较高。在高考试题中，线性规划问题多为中档题，在解决此类问题时，可以根据具体题型特点来应用函数图像。如，在下题中：

在平面指标坐标系xOy中，A（-12，0）、B（0，6），点P在圆O上，如果，那么P横坐标取值范围为：

上述问题涉及的就是圆与直线位置关系，P横坐标取值范围代表其具体的轨迹与区域，在解题时，可以根据题意来画图，从图像区域中分析P点横坐标取值范围，设P点坐标是（x，y），代入题中条件，得出不等式，结合图像即可得出具体的取值范围。

3 结语

数学思想是对数学问题本质的揭示，也是对数学事实、理论概括、抽象后的认识，在高中数学中，数、形是两个基本研究对象，利用数形结合思想，很多难题都可以迎刃而解。在高中数学教学中，教师要深刻认识到数形结合思想的作用与价值，认真分析，正确对待，根据学生的实际学习情况来制定教学方法，使学生做到知其然、又知其所以然，提升学生的解题能力，锻炼学生的数学思维的灵活性。

参考文献

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