巧用a2+b2≥2ab变式解题*

四川省自贡市衡川实验学校 (643200) 李小强 邓文俊 内江师范学院数学与信息科学学院 (641112) 刘成龙

a2+b2≥2ab形式优美、结构简单，具有丰富的内涵，在高考和竞赛中应用较为广泛.当然，运用a2+b2≥2ab解决问题也具有一定的局限性，比如：a2+b2≥2ab解决一些分式不等式时就不能直接运用，需要将其适当变形后再使用.于是，很自然想到a2+b2≥2ab变形及应用这一重要的研究课题.本文探讨a2+b2≥2ab几种变形及变形的应用.

一、a2+b2≥2ab的几个变式

变式是指相对于某种范式不断变更问题情境或改变思维角度使事物的非本质属性时隐时现，而事物的本质属性保持不变的变化方式.陈景润先生指出“题有千变，贵在有根．”这揭示了试题变式的内核.下面围绕a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立)这一“根”展开丰富的变式研究.

变式2 若a,b∈R，则(a+b)2≥4ab.

将变式3左右两边同时乘a可得：

说明:(1)变式1—5取等条件均为a=b；

二、a2+b2≥2ab变式的应用

A.1 B.2 C.3 D.4

评注：例2、3解答中运用了变式2，解答的关键是分别运用变式2构建关于z,S的不等式.

例5 (2009年江苏卷21题)设a≥b>0，求证：3a3+2b3≥3a2b+2ab2.

评注：例4、5证明过程中运用了变式3，极大简化了问题证明过程，降低了学生的思维负荷.

评注：本例中运用变式5有效地实现了降次，同时实现了分式不等式到整式不等式的转化，大大降低了问题的难度.