线上教学模式在线性代数中的应用探究

张 卿 高清芬

（衡水学院数学与计算机学院 河北 衡水 053000）

新年伊始，突如其来的疫情打乱了所有的计划，为阻止疫情向校园蔓延，教育部下发了春季延期开学的通知，并发出了“停课不停教，停课不停学”的号召，全国师生积极响应教育部的号召，进行了一场超大规模的授课方式的变革， 《线性代数》 作为各类大学理工科专业必修的一门重要基础课程，与其他数学课程相比有所不同，它具有较强的抽象性、逻辑性以及广泛的应用性，且具有概念多、论证量大、计算技巧强的特点，对于提高学生的抽象思维能力、逻辑思维能力及运算能力，培养学生的数学素养有着重要的作用[1]。笔者结合自己的授课经验谈谈对这门课进行线上教学的体会。

1 课前准备

对于课前准备，线上授课不同于线下授课，首先要选择好平台；其次，将本节内容课件、视频等上传至学习平台；最后，对本节的重点、难点、大纲要求甚至对定理的理解、掌握程度都要做出明确要求，让学生了解。这样学生才能做到心中有数，有利于学习任务的完成，为网络教学的顺利开展做了充分的准备。

2 新课讲授

由于线上授课，教师无法对学生的听课情况进行操控，如果还是采用“满堂灌”、“老师讲学生听”的传统教学模式，势必造成学生缺乏学习兴趣，因此，每节课可根据教学内容的多少、难易程度将线上授课控制在一定时间内，留出一定的时间引导学生自学讨论来提升课堂效果。根据线性代数这门课的特点，线上授课重点要做好以下几点。

2.1 抓核心，以点带面。万事万物都是有联系的，知识也一样，只要善于发现，总能发现蛛丝马迹。线性代数主要研究的不外乎就是行列式与矩阵及在矩阵基础上派生出来的线性方程组、特征值与特征向量、二次型。行列式是基础，矩阵中利用初等行变换化矩阵为梯矩阵或最简梯矩阵是线性代数的核心，这个知识点贯穿第二章、第三章、第四章、第五章，可以说几乎涉及每个章节，学好了这部分对学好整个课程起着至关重要的作用，将矩阵利用初等行变换化为行阶梯形矩阵进一步再化为行最简形说容易其实也不容易，容易是指将一些数做些加减、数乘之类的运算，初中生也能计算，不容易是指面对不同的矩阵，采用的方法不同，但都有一定的规律，计算的数值次数多，一次完全做对需要仔细、认真地计算才行。因此教学中首先线上讲解化简的规律，反复强调这一过程的重要性，通过课上示范、课下作业练习、章节小测等多种形式加强这方面的练习，使学生熟练掌握这一方法。在此基础上再结合相关的知识点去求解逆矩阵、矩阵的秩、求线性方程组的解、求向量组的秩、求正交矩阵、将二次型化为标准型等等，以“点”带“面”，使学生学习其他知识时能够游刃有余，事半功倍。

2.2 重概念，化难为易。基本概念通常是数学教学中的重点和难点，深入理解基本概念是数学课程学习的前提，基本概念的教学方法将直接影响数学课程的教学效果[2]，因此线上授课重点是讲清概念，比如线性代数中线性相关与线性无关的概念，给定向量组，如果存在一组不全为零的数，使得k1a1+k2a2+…kmam=0 成立，则称向量组是线性相关的，否则称为线性无关的[3]。这里着重理解“不全为零的数”几个字，即如果这组数全为零等式成立，并不能说明线性相关，也不能说明线性无关，而只有当且仅当这组数全为0时成立，才能说明线性无关，再加上实例的验证，经过这样反复的强调，相信学生一定能牢牢地掌握此概念。总之，授课中要让学生深刻地理解各个概念，学习起来才能游刃有余。

2.3 重总结，温故知新。线上授课，学生学到的知识更加碎片，要将所学知识有机联系在一起，习题课的优越性更加突出地体现出来。线性代数课程中有很多相似的知识点，授课时多进行对比更有利于学生掌握新知识，比如行列式与矩阵，很多学生在学习完行列式和矩阵之后，分不清矩阵和行列式，经常把两者的符号混同，甚至到这门课结课时都不能很好地掌握，习题课上教师主要引导学生分析它们的异同，虽说行列式与矩阵都用行、列的形式呈现，行列式性质与矩阵的初等变换有些叙述相似，行列式的性质与矩阵的初等变换都有某行各元素的k 倍加到另一行对应的元素上；某两行进行对换[3]，这两条看似相同，实质意义不同，前者对行列式来说，其值不变，对矩阵来说被加到的这行的元素发生了改变，而第二种变换对行列式来说，其值变号，对矩阵来说对应两行的元素都变了。行列一样时都为方形，但行列式与矩阵实际是完全不同的概念，它们在记号、形状、意义上完全不同，行列式是一个数或一个代数式，矩阵是个数表。线性代数中相似的概念还有很多，比如矩阵的相似、合同、正交等等这些都要在习题课时重点强调，从而让学生真正理解其含义，掌握所学知识点。

3 课后作业

3.1 作业的布置。作业是对授课教学的有效延伸，是课堂学习的巩固和深化。数学不同于其他学科，既不用做实验也不用上机演示，它需要每次课后的书面作业来巩固所学知识。而这种线上教学，由于教师没有与学生面对面互动，看不到学生的情感态度，不了解学生的学习效果，因此就需要加大课后考评来反映，针对这种情况，需要教师精心准备课后作业，一般第一题就是针对本节课的知识点来布置，考查学生在真正理解所学知识后才能总结出来的知识，后面的题再根据本节所学知识从课后练习题中精心选出，注意难度适中、覆盖面要广，以便巩固所学知识。比如求矩阵的秩，一种方法用定义求，即矩阵的最高阶非零子式的阶数；另一种用初等变换求，即行阶梯形矩阵中非零行的行数。根据这个知识点可以布置一道习题：用定义求3 4 阶矩阵的秩，从最高阶子式判断还是最低阶子式判断？如果有一个一阶子式，一个二阶子式不为零，有一个三阶子式为0，能否说明矩阵的秩为3？通过对这种问题的思考让学生深刻理解矩阵的秩的定义，从而对两种求矩阵秩的方法的优劣有更深的认识。

3.2 作业的批改。作业是教师获取教学反馈信息的重要手段，通过批改作业，教师及时发现学生学习的难点与弱点。线上教学布置作业一般要求提交到学习平台，而这种公共课往往是大班教学，属多作业课程，教师看作业占用太多时间，批改起来有一定难度，因此，对于比较简单的作业，一般在平台上“广撒网”的形式大致看看，之后记下出现的问题，挑出做得好的作业，用照片的形式在学习群发布，对一些共性问题以书面形式发给学生，要求学生修改并保存。这样做，一方面让学生做到知己知彼，找出差距，确定自己的努力方向；另一方面让学生通过自己修改，加深了对知识的理解，巩固所学知识。

3.3 章节小测。线上教学总体来说不如线下带给的冲击直观，教师“看不见摸不着”，知识的学习不是很系统，因此学完每章后都要系统总结，通过章节测试巩固所学知识，章节测试不宜过难，主要考查基本知识点，让学生在学完后获得成功感，在接下来的学习中更加自信。

3.4 辅导答疑。线性代数作为基础课，选课人数较多，加上线上授课的模式不能满足所有学生实时提问、实时答疑的需求，为弥补网络教学的短板，教师通过建立微信群、QQ 群等进行互动，对学生提出的问题通过语音、图片等形式及时给予回复，保证当天的问题当天解决。还可以通过在线讨论，组织学生进行反思，促进知识的吸收内化和问题解决。

总之，线上教学既有优点又有缺点，如何将线上教学与线下教学有机结合起来，相得益彰，是今后仍要探究的课题。