基于差分原理的重力坝深层抗滑稳定可靠度研究

李向鹏，王 刚，李梦瑶，秦净净

(大连理工大学水利工程学院，辽宁 大连 116024)

0 引 言

抗滑稳定性是混凝土重力坝结构安全评价的关键，可靠度方法是结构安全评价的重要方法。可靠度理论已经在水工结构(如重力坝等)的安全评价中得到了广泛应用，并纳入到相关设计规范(标准)中。当前，可以通过计算重力坝的抗滑稳定可靠指标β判断坝体及基岩是否满足安全标准[1]。然而，实际工程中很多重力坝坝址工程地质条件复杂，大坝基岩内往往存在错综复杂、相互切割交错的断层、软弱夹层、节理裂隙等，这些结构面及其组合会形成坝基深层潜在的滑移通道，其中双斜面的情况最为典型。另外，当不同坝基滑移通道具有共同结构面或滑移面间存在类似的岩土统计特性时，滑移通道间就会成几何或物理力学参数的相关性，此相关性如何考虑需要结合具体工程进行专门分析。总体上看，当前研究中较多地关注坝基内不同滑移通道各自的安全度或可靠度，未能对若干滑移通道组合时的情形进行定量分析，从而对基岩整体失稳状态的评价存在一定不足。因此，有必要基于体系可靠度理论对重力坝基岩内存在若干滑移通道组合的情况开展整体抗滑稳定可靠度分析。

可靠指标β的计算通常采用蒙特卡洛数值模拟(MC)方法、验算点法、响应面法等[2]。其中，MC法[3- 4]属于随机抽样方法，为了保证计算精度，需要模拟大量的随机样本，计算效率非常低；响应面法通过多次迭代运算拟合功能函数，并多在功能函数为隐式时采用，当功能函数的非线性较强、变量之间相关性较高时，计算误差较大，且可靠指标计算在验算点处产生振荡[5]；验算点法，如中心点法、一次二阶矩法(FOSM)等，属于数学近似方法，精度低于MC法，且需要功能函数为显式表达以便于计算中求解功能函数的偏导数，一般而言效率较高。另外，体系可靠度理论在重力坝结构安全分析中也得到了应用，如宽窄界限法、主次结合法、史蒂文森-莫谢斯法等[4]，多是用于大坝满足强度、稳定等不同使用功能时的综合分析，而直接针对本文问题的研究并不多见。

为更好地解决重力坝深层抗滑稳定计算中功能函数为隐式且非线性程度高的问题，综合考虑各种可靠度计算方法的优缺点和适用性，本文提出将数值差分原理引入到SORM法中，通过差分方法求解功能函数的偏导数，进而计算抗滑稳定可靠指标；在研究坝基深层多滑移通道稳定体系可靠度时，先将不同滑移通道视为单一失效模式，再结合各滑移通道可靠指标计算结果采用宽窄界限法计算重力坝基岩整体抗滑稳定体系可靠度。将此计算方法应用到基岩地质条件复杂、存在多条滑移通道的典型重力坝工程案例中，并采用MC法进行精度和适用性验证。

1 基于差分原理的可靠度计算方法

1.1 功能函数偏导数的差分计算

由于二次二阶矩法中求解关于各随机变量X=(X1，X2，…，Xn)的偏导数时，需要功能函数Z=g(X)为显式形式，而实际工程中可靠指标β计算时常遇见Z为隐式函数的情况。数值差分法是求解隐式函数偏导数的有效方法。苏永华[6]等详细推导了二维空间内利用差分理论求解函数导数的计算公式，基于差分原理可以得到验算点X0处的功能函数对各变量的一阶偏导数和二阶偏导数，如式(1)～(3)所示。

(1)

(2)

(3)

式中，λ为步长；为了使偏导数计算具有较高的精度，λ取值应尽量小，文献[7]建议在0.03～0.01之间取值。

1.2 基于差分原理可靠指标 β的计算

考虑变量间相关性时，求解β过程包括以下几个步骤：

(5)按相关系数矩阵ρY产生下三角矩阵A，并按式(1)～(3)的形式计算功能函数的一阶偏导数向量gY(y*)和二阶偏导数矩阵2gY(y*)；从而计算单位向量

(4)

(6)以αY′第n列向量由Gram-Schmid方法确定正交矩阵H′，并计算矩阵Q′，即

(5)

(7)经过简化可得二次二阶矩法对应的失效概率Pf及修正后的可靠指标β如下

(6)

β=Φ-1(1-Pf)

(7)

式中，Φ为正态累积分布函数。

2 体系可靠度计算

2.1 失效模式间相关性

失效模式间的相关性往往对系统可靠度分析结果产生较大影响，所以在进行结构体系可靠度分析时，必须考虑这种相关性。基于上述方法，由式(4)在验算点收敛处，求得第i、j个失效模式中随机变量xk的敏感性因子αik、αjk，两者之间的相关系数为

(8)

由式(8)可知，两个失效模式间的相关性系数与两个功能函数中共同随机变量的数目以及验算点处的敏感性系数大小有关，共同随机变量敏感性系数越大，数目越多，相关系数就越大，两个失效模式间相关性也越高。

2.2 宽窄界限法

宽窄界限法[9-10]是计算体系可靠度的常用方法，但界限法并不能直接计算可靠指标，需要先由其他方法求得体系内每个子系统的可靠指标及它们之间的相关系数，然后明确每个子系统相互之间的串并联关系，进而使用界限法计算体系可靠指标。

1967年，Comell在文献中提出串联系统失效概率Pf的宽界限为

(9)

式中，Pfi为第i个失效模式的失效概率。

1979年特里文森(Ditevsen O)对式(9)进行了改进，提出窄界限法计算公式即

(10)

式中，P(Ei∩Ej)为两个失效模式同时失效的概率。

对于重力坝基深层抗滑稳定问题，岩基内的每一条滑移通道(失效模式)视为一个子系统，整体坝基失稳体系即由若干子系统根据失稳性质串联构成，同时，每个滑移通道又由若干单元(即滑移面)并联构成，这样重力坝基岩整体稳定体系可靠度模型是一个串并联系统，可以先由本文介绍的基于差分原理的可靠度方法计算各滑移通道的可靠指标，明确失效系统内构件间得逻辑关系后，再采用宽窄界限法计算整个基岩的抗滑稳定体系可靠指标。本文的单一滑移通道考虑最为典型的双斜面情形。

3 工程实例

某重力坝上游水位92.0 m，下游水位22 m。计算选取的挡水坝段坝顶高程102.00 m，坝顶宽5.5 m。扬压力折减系数在为0.25，帷幕距坝踵7.5 m。上游坝面竖直，下游坝坡在94 m高程以下坡度为1∶0.75，在94 m高程以上竖直。主滑面倾角α=16.4，滑面倾角β=27.0。根据已知两条滑移通道的资料，对该重力坝的基岩整体稳定可靠度进行分析。岩基整体稳定计算剖面见图1。

图1 岩基整体稳定计算剖面

3.1 单滑移通道可靠度计算

根据文献[11]，可使用等安全系数法构建多斜面情况下的可靠度计算极限状态方程，此时极限状态方程为复杂的非线性方程组，安全系数K是隐含在方程组中的未知数，常规验算点法难以解决该问题，因此，采用本文提供方法计算，并采用MC法进行验证，模拟抽样次数为300万次。

岩基抗滑稳定极限状态方程为

(11)

式中，i、j为滑移面编号，其中，i=1、2，j=3、4。∑W为坝体的竖向作用总合；∑P为坝体的水平作用总和；f′1、f′2分别为滑动块ABD和BCD的摩擦系数；c′1、c′2分别为滑动块ABD和BCD的黏聚力；U1、U2、U3分别为滑裂面AB、BC和BD的扬压力；γ1、γ3分别为重力坝和水容重；G1、G2分别为滑裂面ABD和BCD的重力；Q为BD的抗力；Ψ为BD的抗力与扬压力U3的夹角。

可令K1=K2代入式(11)求得K，功能函数Z=K-1，显然Z为非线性隐式函数。

该工程重力坝基岩4个滑裂面如图1所示，4个滑移面可组合形成四组双斜面滑移通道，编号分别为：Ⅰ(A1B-BC1)，Ⅱ(A2B-BC1)，Ⅲ(A1B-BC2)，Ⅳ(A2B-BC2)。可靠度计算时，随机变量取结构面的抗剪断摩擦系数f′和粘聚力c′。结合实际工程地质力学参数及以往研究中抗剪断参数的统计特征[12]，4个滑移面的f′与c′的随机分布特性见表1。

表1 基岩结构面参数的统计特征

抗剪断参数f′与c′一般呈负相关性，单滑移通道可靠指标计算时考虑两种情况：相关系数ρ=0(不相关)和ρ=-0.3(相关)。由于随机参数分布类型不同，故本文可靠度计算中采用Nataf变换对参数相关性进行处理，最终计算结果见表2。

表2 2种方法计算成果比较

图2 算法收敛过程

从表2可以看出，参数相关性对可靠指标β影响显著，考虑参数相关性后，可靠指标计算值较不相关情况要大。另外，对4个失效模式根据可靠指标大小排序(见图2)。由图2可知，不考虑相关性时排序为Ⅱ<Ⅰ<Ⅲ<Ⅳ，而考虑相关性时排序为Ⅱ<Ⅲ<Ⅳ<Ⅰ，两种情况存在一定差异。

本文方法计算结果与MC法相对误差在2%～4%之间，MC法可靠指标计算值均略高于本文方法，总体上计算精度相当。可见，本文方法可以解决隐式非线性功能函数可靠度计算问题，且由图2可看出，在计算过程中迭代次数为9～31之间，计算效率相比MC法大为提高。

3.3 体系可靠度计算

根据式(8)计算滑移通道间相关性见表3。

表3 相关系数计算结果

当相关系数为0时，说明两滑移通道间无共同滑面，如I和Ⅳ、Ⅱ和Ⅲ等；相关系数为1时表示完全相关；当两相关滑移通道间的共同滑面为主动滑面(靠近坝踵)时，相关系数均大于共同滑面为被动滑面(靠近坝址)的情况。

本文方法得到的基岩整体抗滑稳定可靠度计算结果如表4所示，表中一并列出MC法的计算结果，便于进行对比分析。

表4 体系可靠度计算结果

从表4可以看出，窄界限法计算得到的可靠指标β区间范围较宽界限法窄，宽界限法区间范围包含了MC法可靠指标计算值，几种方法均满足工程精度需要。可见本文方法具有较好的应用价值。

4 结 论

本文将差分原理应用到可靠度二次二阶矩法中，并结合体系可靠度宽窄界限法对重力坝基岩整体抗滑稳定可靠度进行了研究，计算结论如下：

(1)本文方法在计算可靠指标时，能兼顾精度和效率，并可较好地处理对于功能函数为隐式非线性的情况。

(2)结合工程实例进行计算时，本文方法可以考虑随机变量的不同分布类型和变量间的相关性，计算结果符合一般规律。

(3)在实际工程中，重力坝基岩深层多滑移通道构成的复杂滑移体系是较为常见的情形，本文方法可以更为全面地分析重力坝基岩多条滑移通道整体可靠度，从而为重力坝抗滑稳定安全分析的进一步研究提供有力的技术支持，也为重力坝坝基抗滑稳定性研究提供新的思路。