逆向思维方法在高等数学中的应用

钱宝英

摘 要：逆向思维做为与正向思维相对应的思维方法，在我们分析和解决数学问题中同样有着举足轻重的作用.运用反推思考、间接思考、反证法和举反例等逆向思维方法，在解决数学问题时往往能取得意想不到的效果.逆向思维有利于克服定势思维的保守性，本文拟探讨高等数学中的逆向思维方法，通过相关的论述来说明逆向思维方法在高等数学中的应用.

关键词：逆向思维;构造法;反证法;举反例;间接法

数学中的逆向思维是发散思维的一种重要形式，它是从习惯思维的相反方向（或另一面）去进行思考分析问题，常常表现为逆用定义、逆用定理、逆用公式、逆用法则、举反例等，从而达到解决问题的目的。

一、定义的逆用

数学中被定义的概念和下定义的概念其外延完全相等， 因而两者的位置可以互换，这就应从正反两方面加深对定义的理解.恰当利用定义的“可逆性”，可使解题灵活简捷.

例（利用定积分的定义求极限）求极限

2.定理的逆用

数学定理有可逆的和不可逆的， 对可逆性定理我们可以直接通过逆用来解决数学问题.

例 行列式中的定理：行列式等于它任意一行的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积之和.即

其中Aij为D中元素aij的代数余子式.

上面的式子从左向右看是行列式D按第i行展開，从右向左看即是还原，还原后的行列式第i的元素依次为Ai1，Ai2，…，Ain前面的那些数（即ai1，ai2，…，ain）而其余各行元素由这些代数余子式所含的那些行确定.因此，当j≠i时， 有

即得定理：行列式的一行所有元素与另外一行的对应元素的代数余子式乘积的和等于0，由此可见此定理是逆用上面的定理而得来的。

（三）公式的逆用

例 式子            ，顺用就是矩阵乘法，

逆用就是矩阵分解形式. 实际上逆用这一公式很容易证明[2]中“线性空间V上双线性函数f关于V的两组基的矩阵是合同的”.

事实上，设线性空间V上线性函数f关于V的两组基ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…ηn的矩阵分别为A=（aij）与B=（bij），且（η1，η2，…η）=（ε1，ε2，…，εn）C，则

其中，Ci为C的第i列（i=1，2，…，n），所以B合同于A.

（四）法则的逆用

例两个多项式中只要有一个为零，那么它们的积等于零. 有其反面，若两个多项式的积为零，则这两个多项式中至少有一个为零.由此易得多项式乘法满足消去律，即：若

且    ，则     .事实上，由已知有

即         ，而    ，所以

即     .

（五）恒等式的逆用

对恒等式的使用常习惯于从左到右，即正向恒等式.但是， 如果将恒等式逆向处理，即从右到左使用，不仅能使运算变得简洁，而且运算方法也会变得灵活和巧妙，对一些特别麻烦的问题，逆用恒等式来处理常能收到较好的效果.如      在三角恒等式证明中及不定积分等计算中都有广泛的应用.

例求

解