一类带参数积分中值公式的证明

吴定能

(贵州电子信息职业技术学院，贵州 凯里 556000)

积分中值定理是积分学的重要内容，也是一直以来研究的热点课题。以前大多是集中于研究它的推广与深化。目前，研究出不同类型的积分中值公式已成为中值定理研究的重点课题。本文在总结了微积分的理论之后，对带参数积分建立了一类带参数的积分中值定理，并且完成了证明。

1 带参数积分中值公式一

(1)

证明：证明分三步完成。

1)当n=1时，我们直接计算

从而，若ρ≠0且ρ∈(-1，1)时，我们有

(2)

很显然，当ρ=0时，恒等式(2)也成立。

2)当n=2时，利用分部积分公式直接计算，可得

(3)

于是

(4)

结合(4)及(3)可以得到

因此，若ρ≠0且ρ∈(-1，1)时，可得到

(5)

此外，很显然，当ρ=0时，恒等式(5)也成立。

这意味着恒等式(1)适用于n=1或n=2的情况。

3)为了证明一般性结论，让|ρ|<1，n≥3。一方面，利用分部积分公式，我们有

(6)

另一方面，将积分函数中分子sinnθ拆为sin2θsin2θ，可得到

从而，可得到

(7)

结合恒等式(6)及(7)可得到

移项整理后，得到

(8)

由于fn(ρ)在区间(-1，1)连续，那么对恒等式(8)，fn(ρ)满足微分方程

ρfn′(ρ)+(n-1)fn(ρ)=0

(9)

在ρ∈(-1，1)，令Fn(ρ)=ρn-1fn(ρ)

那么Fn(0)=0，而且

Fn′(ρ)=(n-1)ρn-2fn(ρ)+ρn-1fn′(ρ)

=ρn-2[(n-1)fn(ρ)+ρfn′(ρ)]

进而，由微分方程(9)，可以得到Fn′(ρ)=0，ρ∈(-1，1)。

从而，结合Fn(0)=0，得到Fn(ρ)=0，ρ∈(-1，1)。

因此，当ρ≠0时，一方面，可以得到fn(ρ)=0，ρ∈(-1，1)。

另一方面，根据fn(ρ)的定义可得fn(0)=0。

因此，可得

(10)

(11)

结合恒等式(6)

因此，当ρ≠0时，我们可以得到

(12)

此外，当ρ=0时，恒等式(12)也成立。

若m≥2，|ρ|<1时，对恒等式(12)，可得到

当n为2m时，有

(13)

当n为2m-1时，有

(14)

结合恒等式(13)及(14)，当n≥3，|ρ|<1时，我们可以推出恒等式(1)成立。再结合恒等式(2)及(3)，可以得到，当n≥1，|ρ|<1，时，恒等式(1)恒成立。

2 带参数积分中值公式二

(15)

证明：证明分为五步完成

1)当n=1时，我们直接计算

因此，如果ρ≠0时，可以得

(16)

当ρ=0时，恒等式(16)显然成立。

2)当n=2时，我们直接计算

结合恒等式(4)，可得到

因此，若ρ≠0时，可得

(17)

同时，也很显然，当ρ=0时，恒等式(17)也成立。这意味着恒等式(15)也适用于n=1或者n=2的情况。

3)当ρ=1时，利用二倍角公式，可以得到

(18)

4)当ρ=-1时，同理，根据二倍角公式，可以得到

(19)

由恒等式(18)及(19)，我们可以立即得到

这意味着恒等式(15)也适用于|ρ|=1的情况[2]。

5)为了证明一般性，假设|ρ|<1，n≥3时，根据fn(ρ)=0，可以得到

结合恒等式(1)，可以得到

(20)

因此，由恒等式(17)、(18)、(19)及(20)可以得出，对于n≥1且|ρ|≤1时，等式(15)恒成立。

3 带参数积分中值公式三

(21)

证明：证明分为两步完成。

1)当n=2时，等式(21)显然成立。

2)为了证明一般性，当n≥3，|ρ|≤1时，利用恒等式(21)，替换n(n+2→n)，可直接得到

再结合恒等式(15)，可以得到

因此，可以得到

(22)

从而，当n≥3，|ρ|≤1时，恒等式(21)成立。

因此，由(1)和(2)，我们可以得到，当n≥2且|ρ|≤1时，恒等式(21)恒成立。