邻域概率粗糙集的不确定性度量

周艳红， 张 迪， 莫智文

（1.中国民用航空飞行学院 计算机学院，四川 广汉618307； 2.四川师范大学 智能信息与量子信息研究所，四川 成都610066）

粗糙集理论作为一种数据分析处理的理论［1］，在知识获取、机器学习和数据挖掘等领域有广泛应用［2］.在粗糙集理论中，不确定性度量是描述系统分类能力的重要依据，对此很多学者进行了相关研究［3-6］.Pawlak［3］提出3 种不确定性度量，即精度、粗糙度和近似精度；文献［4］通过引入知识粒度，提出基于知识粒度的精度、粗糙度和近似精度；文献［5］研究了关于粒的不确定性度量及其关系；文献［6］在概率粗糙集模型中揭示了3 种经典不确定性度量（即精度、粗糙度和近似精度）的局限性，提出基于期望粒度的3 种单调不确定性度量，为属性约简奠定良好的基础.

经典粗糙集主要采用等价关系和等价类，在应用时需要对相关的数值数据进行离散化，具有局限性.为此，文献［7］提出比等价关系更为通用的邻域关系，并广泛应用于不确定性数据的特征提取、属性约简等［8-13］.在邻域系统中，不确定性度量对属性约简具有重要作用.文献［8］提出邻域熵、信息粒、基于邻域熵的近似精度等多种不确定性度量，并研究其相关性质；文献［9］在邻域粗糙集中提出邻域精度、粗糙度及近似精度.

由于经典的邻域粗糙集模型对噪声的容忍性相对较差，为此，主要对邻域粗糙集模型进行扩展.首先，通过引入2 个阀值，构造出邻域概率粗糙集模型，提出3 种不确定性度量；再次，将邻域概率粗糙集和邻域粗糙集相结合，提出3 种改进的不确定性度量.

1 邻域粗糙集

主要介绍邻域粗糙集中一些基本的概念［8，10，14］.设NIS=（U，C，V，f，δ）是一个信息系统，其中，U=｛xi|i=1，…，n｝为非空有限集；C是非空属性集；V为所有属性的值域，即表示属性c所有可能取值的集合）；δ∈［0，1］为邻域参数.定义NDS=（U，C∪D，V，f，δ）是邻域决策信息系统，其中C和D分别表示系统的条件属性和决策属性.U/D=｛X1，X2，…，Xm｝是决策属性D在U上的一个等价类.

关于属性子集A=｛a1，a2，…，a|A|｝的距离函数为

其中，q=1 时，dA（x，y）为Manhattan距离；q=2 时，为Euclidean 距离；q=∞时，为Chebychev 距离.本文采用Manhattan距离.由dA和δ产生邻域（类）为

邻域关系为

2 邻域概率粗糙集的不确定性度量

在邻域粗糙集基础上，本节通过引入2 个阀值，提出邻域概率粗糙集模型，并逐步构建出3 种改进的不确定性度量.

2.1 3 种邻域概率不确定性度量及其单调性通过引入2 个阀值，提出邻域概率粗糙集模型，定义3种不确定性度量，即邻域概率精度、粗糙度和近似精度，并研究这3 种不确定性度量的单调性.

定义2 在NIS中，0≤β ＜α≤1，A⊆C，X⊆U，则X关于A的邻域概率下、上近似为：

在NDS中，A⊆C，U/D=｛X1，X2，…，Xm｝，则U/D关于A的邻域概率下、上近似为：

定义3在NIS中，0≤β ＜α≤1，A⊆C，X⊆U，则X关于A的邻域概率精度和粗糙度分别为：

定义4在NDS中，0≤β ＜α≤1，A⊆C，则U/D关于A的邻域概率近似精度为

定义3 和定义4 根据邻域概率上、下近似给出了邻域概率精度、粗糙度和近似精度的概念.

对比文献［6］中概率粗糙集中的概率精度、粗糙度和近似精度，本节所定义的邻域概率粗糙集中的概率精度、粗糙度和近似精度更具有一般性，即推论1.

推论1NIS中，若δ=0 时，则有：

推论1 表明在δ =0 时，邻域概率粗糙集退化为概率粗糙集，即邻域概率粗糙集是概率粗糙集的推广，更具有一般化.

下面主要通过例1 讨论其单调性.

例1设NDS=（U，C∪D，V，f，δ）如表1.

表1 例1 决策表Tab. 1 Decision table of Example 1

表1 中，U=｛x1，x2…，x6｝，C=｛a1，a2，a3｝，U/D=｛X1，X2｝=｛｛x1，x4，x6｝，｛x2，x3，x5｝｝，α =0.4，β=0.3，δ=0.4.

选取B=｛a1｝，A=｛a1，a2｝和C=｛a1，a2，a3｝.首先计算A所对应的邻域类，即

表2 例1 中粒度粗化过程中的邻域类Tab. 2 Neighborhood classes during granularity coarsening in Example 1

根据表2，由定义3 和4 分别计算出邻域概率精度、粗糙度和近似精度所对应的值，结果如下：

从例1 中说明邻域概率精度、粗糙度和近似精度不具备单调性，即

1）在NIS中，0≤β ＜α≤1，B⊆A⊆C，X⊆U，下列结论不成立：

2）在NIS中，0≤β ＜α≤1，B⊆A⊆C，X⊆U，下列结论不成立：

由于例1 中所涉及的粗化过程较少，邻域概率近似精度的非单调性并未完全体现，其结果将会在UCI数据实验中充分体现.

2.2 3 种改进邻域概率不确定性度量及其单调性在粗化过程中，由于邻域概率粗糙集中的上下近似不具备单调性.因此，邻域概率粗糙集中的精度、粗糙度和近似精度也不具备单调性，进而需要对邻域概率精度、粗糙度和近似精度进行改进，使其满足粒化单调性，即为改进的邻域概率精度、粗糙度和近似精度，并讨论相关性质.下面通过结合邻域粗糙集的上下近似，建设性地提出改进的邻域概率精度、粗糙度及近似精度，并对单调性进行研究.

定义5在NIS中，0≤β ＜α≤1，A⊆C，X⊆U，则X关于A的改进邻域概率精度和粗糙度分别为：

定义6在NDS中，0≤β ＜α≤1，A⊆C，X⊆U，U/D=｛X1，…，Xm｝，则U/D关于A的改进邻域概率近似精度为

定义5 和定义6 将邻域概率粗糙集和邻域粗糙集相结合，分别提出了改进的邻域概率精度、粗糙度和近似精度的概念.下面主要讨论其单调性.立，性质3 说明改进的邻域概率精度、粗糙度具有参数单调性.

由推论4 和推论5 看出，文献［6］在概率粗糙集中所提出的概率精度、粗糙度和近似精度是改进邻域概率精度、粗糙度和近似精度的一种特例.

下面通过例2 对改进邻域概率精度、粗糙度和近似精度单调性进行验证说明.

例2利用定义5 和定义6，通过计算，其改进的邻域概率精度、粗糙度和近似精度的值如表3.

表3 3 种改进邻域概率不确定性度量的值Tab. 3 Values of three improved neighborhood probabilistic uncertainty measures

在粒度粗化过程中，3 种改进的邻域概率不确定性度量具有明确的单调性.例如，针对例1 选取的粗化过程“｛a1，a2，a3｝→｛a1，a2｝→｛a1｝”，改进邻域概率精度、粗糙度和近似精度分别表现为：

对比例1，改进的邻域概率精度、粗糙度和近似精度具有单调性，改良了邻域概率粗糙集中邻域概率精度、粗糙度和近似精度的非单调性.

3 UCI数据实验

主要选取2 种UCI数据进行实验，对本文所提出的邻域概率精度、粗糙度和近似精度以及改进的邻域概率精度、粗糙度和近似精度的非单调性/单调性进行比较分析.

数据实验包含2 组数据，具体为：wdbc 数据集包含569 个对象，30 个条件属性（只取前12 个），1个决策属性（U/D=｛X1，X2｝），取δ=0.3，α=0.4，β=0.3；sonar数据集包含208 个对象，60 个条件属性（只取前11 个），1 个决策属性（U/D=｛X1，X2｝），取δ =0.05，α =0.4，β =0.3.实验结果如图1 -10 所示.为方便，将邻域概率精度、粗糙度和近似精度分别简记为PNA、PNR、PNAA以及改进的邻域概率精度、粗糙度和近似精度分别简记为MPNA、MPNR、MPNAA.

图1 2 种邻域概率精度（wdbc，δ=0.3，X1）Fig. 1 Two kinds of neighborhood probabilistic accuracies（wdbc，δ=0.3，X1）

图2 2 种邻域概率精度（wdbc，δ=0.3，X2）Fig. 2 Two kinds of neighborhood probabilistic accuracies（wdbc，δ=0.3，X2）

图3 2 种邻域概率粗糙度（wdbc，δ=0.3，X1）Fig. 3 Two kinds of neighborhood probabilistic roughnesses（wdbc，δ=0.3，X1）

图4 2 种邻域概率粗糙度（wdbc，δ=0.3，X2）Fig. 4 Two kinds of neighborhood probabilistic roughnesses（wdbc，δ=0.3，X2）

图5 2 种邻域概率近似精度（wdbc，δ=0.3，U/D）Fig. 5 Two kinds of neighborhood probabilistic approximation accuracies（wdbc，δ=0.3，U/D）

图6 2 种邻域概率近似精度（sonar，δ=0.05，U/D）Fig. 6 Two kinds of neighborhood probabilistic approximation accuracies（sonar，δ=0.05，U/D）

图7 2 种邻域概率精度（sonar，δ=0.05，X1）Fig. 7 Two kinds of neighborhood probabilistic accuracies（sonar，δ=0.05，X1）

图8 2 种邻域概率精度（sonar，δ=0.05，X2）Fig. 8 Two kinds of neighborhood probabilistic accuracies（sonar，δ=0.05，X2）

图9 2 种邻域概率粗糙度（sonar，δ=0.05，X1）Fig. 9 Two kinds of neighborhood probabilistic roughnesses（sonar，δ=0.05，X1）

图10 2 种邻域概率粗糙度（sonar，δ=0.05，X2）Fig. 10 Two kinds of neighborhood probabilistic roughnesses（sonar，δ=0.05，X2）

在wdbc 和sonar 中，从图1、2 和图7、8 看出，随着属性的增加，邻域概率精度的值变化较平缓且具有非单调性，而改进的邻域概率精度变化明显且具有良好的单调性.而图3、4 和图9、10 显然体现出邻域概率粗糙度具有非单调性，而改进的邻域概率粗糙度具有单调性.图5、6 表明邻域概率近似精度具有非单调性，而改进的邻域概率近似精度具有明显的单调性.

4 结论

通过引入2 个阀值，提出邻域概率粗糙集模型，利用上下近似定义3 种不确定性度量，即邻域概率精度、粗糙度和近似精度；再将邻域概率粗糙集与邻域粗糙集相结合，提出3 种改进的不确定性度量，即改进的邻域概率精度、粗糙度和近似精度，并讨论其单调性.最后通过UCI数据实验对以上的不确定性度量的非单调性/单调性进行有效性说明.实验表明3 种改进的不确定性度量具有良好的单调性，为后期的属性约简研究奠定良好的基础.同时邻域概率粗糙集也是概率粗糙集［6］的推广.

致谢中国民用航空飞行学院面上项目（J2019-037）对本文给予了支助，谨致谢意.