旋转曲面关于积分第一中值定理中ξ 的变化趋势

方绍威,喻晓

(上饶师范学院 数学与计算机科学院,江西 上饶334001)

1 引言及主要结论

众所周知,积分中值定理在分析数学中扮演着重要角色,具体叙述如下：

定理A[1](积分第一中值定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ,使下式成立：

定理B[1](推广的积分第一中值定理)：如果函数f(x)、g(x)在闭区间[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,f(x)连续,则在积分区间上至少存在一个点ξ,使下式成立：关于中值定理渐近性的研究,在一元函数的情况下,文献[2]已经对其做了充分的讨论,其主要结论如下：

定理C[2]设η 是区间[a,b]中某点,存在实数a ＞0,β ≥0,A,B≠0,I,如果：

本文主要研究对象为xoz平面上的函数z(x)－f(x)g(x)绕z轴旋转一周后形成旋转曲面z(x,y)＝

设上述旋转曲面在定义域x2＋y2≤r2上的积分为V1,接下来对V1作近似估计。

对上式化简并使用定理B有：

本文即是对(3)式中ξ点渐近规律的一个探讨。现主要结论如下：

定理1设函数f(x)、g(x)满足：

2 本文主要引理

引理1[3]曲线为平面光滑曲线,绕直线l：Ax＋By＋C＝0一周所成旋转体的体积的积分公式为：

3 定理1的证明

设xoz平面上的函数z(x)＝f(x)g(x)绕z轴旋转一周后的旋转体体积为V2,根据引理1得：

由于(3)式的V1计算的是旋转曲面对xoy平面所求积分的体积,以及(4)式的V2所计算的是旋转曲面上方旋转体的体积,于是有：V1＋V2＝πr2f(η)g(η)。

易得：

下面开始计算H1(r)：

使用洛必达法则可化简为：