一道解析几何自招试题的探究与思考*

北京市第十二中学高中部(100071) 刘 刚

1 试题

题目如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知点F1、F1分别为椭圆E:=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点,A、B分别是椭圆E的左、右顶点,D(1,0)为线段OF2的中点,且

图1

(1)求椭圆E的方程;

(2)若M为椭圆E上的动点(异于A、B),连接MF1并延长交椭圆E于点N,连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q,连接PQ,设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2,试问是否存在常数λ,使得k1+λk2= 0 恒成立? 若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

这是2018年武汉大学自主招生中的一道试题,考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系以及定值问题,考查了方程、转化与化归等数学思想以及坐标法的应用,检验了数学运算、逻辑推理等数学核心素养.试题平中见奇,解法多样,内涵丰富,是一道具有研究性学习价值的好题.

2 解法探究

(2)解法1设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),则直线MD的方程为x=+1,代入椭圆E的方程=1,整理,得所以y1+y3=从而得y3=所以x3=+1 =即点同理,可得点因为M,F1,N三点共线,所以即x1y2-x2y1=2(y1-y2).因为

点评试题(2)问涉及多动点,这给学生解答带来了很大的困难,解决的基本方法还是坐标法,虽然解题过程中设出了M,N,P,Q这四个点的坐标,但通过分别联立直线MD、ND与椭圆E的方程并借助韦达定理,可以实现用M点坐标表示P点坐标以及N点坐标表示Q点坐标,从而达到消元的目的,体现了设而不求的思想方法.

解法2设直线MP、NQ的斜率分别为k3、k4,因为直线MP、NQ过点D(1,0),所以直线MP、NQ的方程分别为k3x-y-k3= 0,k4x-y-k4= 0.设直线PQ的方程为k2x-y+m= 0,又直线MN过点F1(-2,0),所以直线MN的方程为k1x-y+2k1=0,所以过M,N,P,Q四点的曲线系方程为

整理,得

与5x2+9y2-45=0 比较系数,得

由①, 得10uk3k4=-2mk1-9k1k2, 代入③, 得m=.由②④,得k2=-3k1-m,所……