用基本不等式法求最值需要注意“二定”

安徽省滁州市第六中学(239000) 陈 勇

在复习基本不等式时,有一道填空题引起了笔者的思考.

1 原题重现

原题已知x ＞0,y ＞0,且2x+y= 1,则的最小值是____.

由于学生解答的正确率很高,笔者以为学生掌握得很好,便在评讲试卷时,请了一个同学说了一下思路.他说过之后,我感到了问题的严重性.他提出了如下的解题思路:

因为x ＞0,y ＞0, 所以由基本不等式, 得当且仅当且2x+y= 1,即时,不等式取等号,此时因此的最小值是8.

答案正确,但过程有问题.我们知道正确的答案是这样的:

因为x ＞0,y ＞0 且2x+y= 1, 所以当且仅当且2x+y= 1,即时,不等式取等号,故的最小值是8.

2 错误分析

需要指出的是:学生容易犯这种错误, 即使用a+b≥求最值时,ab不是定值,对照本题就是的乘积不是定值.运用基本不等式法求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件,否则可能会得到错误的答案.本题学生得到了正确答案只是一个巧合!

在实际教学中,学生对于“一正”、“三相等”都能很好的注意与掌握,就是这个“二定”,学生理解起来有点困难,不知道为什么一定要满足“二定”条件,笔者认为是很多教师在上课时也没有把问题讲清楚,讲透彻,可能仅仅要求学生记住这一条件,而没有解释其中的原因,学生接受起来很被动,不是理解的记忆,时间一久,自然也就忘记了“二定”.

3 对照试验

怎样才能让同学们更容易理解“二定”这一条件呢?

例1(“积不定”时的解法对比)已知x ＞0,y ＞0, 且x+2y=1,则的最小值是____.

错解因为x ＞0,y ＞0,所以由基本不等式,得当且仅当且x+2y= 1,即时,不等式取等号,此……