一元函数微分和多元函数全微分的教学新探

王珺 徐富强 郝江锋

摘要：微分概念是微积分的核心概念，它直接影响到后续积分概念的学习。一元函数微分和多元函数全微分一直是教学的难点，其原因在于教材对于微分介绍较少，且微分的定义从字面表达上与“无限细分，以直代曲”的重要思想脱节。着重从几何角度出发，在课堂教学中带领学生分析“微分”和“全微分”的定义中“无限细分，以直代曲”的深刻含义，并在此基础上避开晦涩难懂的理论证明和推导，通过几何直观，用通俗易懂的语言解释全微分与连续、偏导数、方向导数以及偏导数连续之间的关系。

关键词：微分;全微分;几何;以直代曲

中图分类号： G642.1   文献标识码： A

1 引言

微积分是高等数学的重要组成部分，20世纪杰出的数学家约翰·冯·诺伊曼在论述微积分时写道：“微积分是现代数学取得的最高的成就，对它的重要性怎样估计也是不会过分的[1]。”微积分俨如一座桥梁，使学生们通过它从基础性的初等数学走向富于挑战性的高等数学，并且面对令人眼花缭乱的转换，从有限量转向无限量，从离散性转向连续性，从肤浅的表象转向深刻的本质[1]。而在微积分中，微分又是核心概念。对于微分概念正确理解与否，会直接影响后续學生对积分概念的理解以及微元法的应用，而在一元函数微分和多元函数全微分的教学过程中，大部分学生反映概念太过抽象，对“微分”和“全微分”定义的理解只能停留在表面，不能深刻理解定义的深层含义，而且在国内大部分教材上[2-4]，介绍“微分”的篇幅远远少于“导数”，甚至有学生认为：前面有了导数的概念，微分这个概念是多余的。……