驻点或拐点不确定情况下的函数作图

泉州海洋职业学院 福建 泉州 362700

一 、引言

利用导数研究函数的性态，进而作出函数的图象，其一般步骤如下[1-2]：

第一步，确定函数f(x)的定义域及函数所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等)，并求出函数的一阶导数f′(x)和二阶导数f″(x)；

第二步，求出一阶导数f′(x)和二阶导数f″(x)在函数定义域内的全部零点，并求出函数f(x)的间断点及f′(x)和f″(x)不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；

第三步，确定在这些部分区间内f′(x)和f″(x)的符号，并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点；

第四步，确定函数图形的水平渐近线、铅直渐近线以及其他变化趋势；

第五步，算出f′(x)和f″(x)的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点；为了把图形描绘得更准确些，有时还需要补充一些点，然后结合第三、四步中得到的结果，联结这些点画出函数f(x)的图形。

但是，对于有些函数来说，第二步中“求出一阶导数f′(x)和二阶导数f″(x)在函数定义域内的全部零点”并不容易，甚至无法实现，因此用上述办法就无法作出这类函数的图象。如果通过其它方式，能探索出函数的某些特性，据此，也可作出函数的图象。

二、研究函数，x∈(-∞，1)的性态并作出其图象

第一步，函数f(x)在(-∞，1)上有定义，连续，可导，f(0)=0，f′(x)=

第二步，令f′(x)=0，即，此乃超越方程，不好求解，故f(x)的驻点不好求。但通过观察容易发现x=0是此方程的一个根，即x=0是函数f(x)的一个驻点，其它驻点未知。令f″(x)=0，即0，此方程也是超越方程，不好求解，故f(x)的拐点也不好求出。为此，用已知的驻点x=0将函数f(x)的定义域划分为(-∞，0)和(0，1)两个区间。

第三步，在区间(-∞，0)上，f′(x)和f″(x)的符号不好判断，它们的零点也不好求出。在区间(0，1)内，易证f′(x)＜0，f″(x)＜0，故f(x)在(0，1)内下降而且是凸的。

下面研究f(x)在区间(a，b)上的性态。由f(x)在(a，b)上的连续性，可导性，故f(x)在(a，b)上是一段光滑的连续曲线，并且曲线的变化趋势从单调下降连续光滑地变为上升到充分接近于原点。在此过程中，曲线由凸弧变为凹弧又变为凸弧，即会出现2个拐点，设拐点的横坐标分别为x1和x2(令x1＜x2)，并且在凹弧段会出现一条水平切线，设其切点横坐标为x3，则x1＜x3＜x2，即函数f(x)会有第2个驻点x3。

第五步，根据前四步分析的结论，作出函数f(x)的图象。

作为检验，用matlab画出函数f(x)的图象，如图1和图2所示，数字仿真的结果完全符合上述的分析。本例中，虽然a，b，x1，x2，x3的准确位置未知，但可以判定它们的确存在，如图2所示。

图1 函数f(x)的图象

图2 函数f(x)局部放大后的图象

三、结论

导数是研究函数的有力工具，通过导数可以刻划函数的性态，进而为函数作图提供依据。当函数的驻点、拐点不容易获得时，可以通过判断其存在性，为函数作图提供帮助。