一类非线性高阶黏弹性波方程解的爆破

刘 霞，崔佳楠

(山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006)

0 引言

本文研究一类带有非线性阻尼项和源项的高阶黏弹性波方程解的爆破：

(1)

波方程

(2)

解的爆破已被大量学者研究,并获得一些结论[1-5],当没有记忆项且h(ut)=a|ut|p-2,f(u)=b|u|q-2时,文献[1]证明了初始能量为正时方程(2)的全局非存在性定理。方程(2)在h(ut)=a|ut|p(x)-2,f(u)=b|u|q(x)-2的情况下是变指数黏弹性波方程,文献[2]利用Faedo-Galerkin方法和压缩映像原理证明了其弱解的存在性,从而得到了解的爆破结果。文献[3]研究了一类变指数波方程,通过构造能量函数得出其性质,进而利用柯西(Cauchy)不等式和积分估计得出方程的解在有限时间内爆破。当h(ut)变为强阻尼Δut,f(u)=|u|p-2uln|u|时,文献[4]利用能量扰动法得出了方程(2)解的爆破现象。文献[5]研究了当h(ut)=ut时,方程(2)解的衰减估计和爆破。文献[6]讨论了一类具有非线性边界条件的黏弹性波方程解的存在性、指数衰减估计和爆破。

近年来,越来越多的学者研究了高阶波方程解的相关性质。例如,当方程(1)中没有记忆项时,文献[11]用势阱方法证明了在q>p的情况下解在有限时间内爆破,并给出了爆破时刻的一个上界。文献[12]改进了文献[11]的结果,考虑了非线性耗散项为一般形式时,方程(1)解的全局存在性和能量衰减估计。当方程(1)中没有阻尼项时,文献[13]通过使用Faedo-Galerkin方法,证明了弱解的全局存在性,也得出了初始能量非正的情况下，解在有限时间内爆破的相关结果。文献[14]给出了非线性记忆项的高阶阻尼双曲系统的爆破结果。受上述研究的启发,本文考虑阻尼项和记忆项都存在时，高阶波方程解的爆破。由……