对一组优美几何不等式的推广

浙江大学附属中学丁兰校区 (310021) 陈作国 施刚良

在△ABC中，设△ABC的面积为S，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则有下列不等式链：

笔者仔细研究了文[1]的证明过程，发现可以改进方法，将结论推广如下：

当n=2时，即不等式②.同时，还对①进行了推广可得：

当n=2时，即得到不等式链①.

要证明定理1和定理2，先引进如下引理：

引理1 在△ABC中，恒有

引理2 在△ABC中，恒有

引理2的证明：与引理1的证明类似，在此不再叙述.

结束语

初等数学中的不等式问题是中学数学教师研究的热门问题，一般比较容易上手，但要深入进去往往又非常困难，这真是不等式问题的魅力所在.再之，本文对文[1]结论作了推广，在论证一般性结论时，发现初等的方法已不够，于是借用函数的凹凸性，发现证明变得相对容易，体现研究初等数学问题的高观点.本文推广的结论只对0≤n≤2成立；当n>2时，笔者试着利用函数的凹凸性没法解决，也就是说高观点也是有局限性的，可能利用初等的方法反而能解决.这也体现出不等式问题的灵活性和技巧性，体现不等式的魅力.当n>2时，结论是否还成立，留给有兴趣的读者.